[Risolto] Dubbio funzione

ciao,

hai posto la domanda un po' erroneamente, ma penso di aver capito il tuo dubbio:

Sia f(x) definita in D, f(x) è continua in D se e solo se è continua in ogni punto di D. L'intervallo di definizione non deve essere necessariamente chiuso e limitato, ma la condizione necessaria e sufficiente è che la continuità sia puntuale in ogni punto di definizione della funzione. Al più una funzione può essere continua ovunque se è continua su (-∞,∞).

Nel caso particolare di funzione f(x) definita nell'intervallo chiuso e limitato [a,b], f(x) è continua per ogni x∈[a,b] se f(x) è continua puntualmente nell'intervallo aperto (a,b) e se f(xa)=fa e f(xb)=fb.

(richiamo alla continuità puntuale, f(x):A->B si dice continua in x0∈A se sono soddisfatte le seguenti 3 condizioni: 1)se f(x0) è definita; 2)se lim di x che tende a x0 di f(x) esiste; 3)se lim di x che tende a x0 di f(x) è uguale a f(x0) ).

Quindi avere un intervallo di definizione chiuso e limitato è solo una condizione necessaria ma non sufficiente per la continuità della funzione in ogni punto dell'intervallo, e cioè solo se il limite desto e sinistro della funzione nel punto sono uguali alla funzione nel punto per ogni punto dell'intervallo di definizione.

esempio di funzione f(x) definita nell'intervallo chiuso e limitato [0,3] ma non continua in tale intervallo:

f(x):

{x       per x∈[0,2)

{x^2   per x∈[2,3]

lim x->2sx di f(x) = 2

lim x->2dx di f(x) =4

(discontinuità di tipo salto)

sempio di f(x) definita nell'intervallo chiuso e limitato [0,3] e continua in tale intervallo:

f(x):

{x       per x∈[0,1)

{x^2   per x∈[1,3]

lim x->1sx di f(x) =1

lim x->1dx di f(x) =1

ciao 😀

Ragazzi un dubbio una funzione definita in un sottoinsieme chiuso [a, b] limitata implica che f sia continua però perché non vale necessariamente il viceversa?

cosa intendi per viceversa ???