Domanda sui logaritmi

Invece di usare le definizioni, uso un esempio.

Sia f(x) = log(x)

Le condizioni di esistenza del log(x) sono C.E. = (0, +∞)

Definiamo tre diverse funzioni. Esse differiscono per avere diversi domini

1. $f_1 (x) : (1, +∞) \to \mathbb{R} $
2. $f_2 (x) : [1, +∞) \to \mathbb{R} $
3. $f_3 (x) : [1, 2] \to \mathbb{R} $

Qualora il Dominio non venda specificato si intende che sia eguale al C.E. 

Conclusione Il dominio D non può che essere un sotto-insieme del C.E.

D ⊆ C.E.

Se non si dice nulla in merito riguardo ad una funzione y=f(x), per quanto mi riguarda, ho sempre preferito la dicitura C.E. riservando alla funzione il termine di DOMINIO quando essa stessa è soggetta a delle restrizioni che vengono imposte ad essa ad esempio: " Quando una funzione risulta continua in un insieme chiuso e limitato è ivi dotata di minimo e di massimo assoluto (in tal caso parlo di dominio)"

Comunque riconosco che in molti testi non si fa tale differenza (a mio giudizio sbagliando...)

CE = campo di esistenza della funzione, (condizione di esistenza): l'insieme di tutti i valori strettamente maggiori di 0.  (Solo i numeri positivi hanno il logaritmo).

no é la stessa cosa 

il dominio é il sottoinsieme degli elementi x di R tali che f(x) é in R e per trovarlo si mettono a 

sistema le c.e. 

Tecnicamente non sono la stessa cosa. Consideriamo $f(x): A \to B,\ f(x)=\log(x^3)+\log(3-x)$. Puoi verificare facilmente che la C.E. è $0<x<3$, ma $A$ (il dominio di $f$) potrebbe essere un insieme qualsiasi.

Se non viene specificato $A$, puoi esonerarti dalla pedanteria di fare la differenza tra C.E. e dominio di una funzione $f$. Se $D$ è il dominio di una funzione $f(x)$ e $C$ è l'insieme di tutti gli $x$ che rispettano le C.E., $D$ si chiama anche dominio naturale di $f$ se e solo se $D = C$, ma generalmente $D \subseteq C$.

Non è possibile che $D-C \neq \emptyset$ perché altrimenti non potresti trovare un'immagine per ciascun elemento di $D-C$ (cioè esisterebbero degli elementi del dominio che non hanno immagine nel condominio, impossibile per definizione di funzione).