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Domanda iperbole omografica

  

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Buongiorno a tutti. 

Ho qualche difficoltà con questo esercizi sull'iperbole omografica

$y=(x+3)/(1-x)$

trovo che 

$a=1$

$b=3$

$c=-1$

$d=1$

da qui ricavo facilmente gli asintoti e l'origine traslata.

Il testo dell'esercizio chiede le coordinate dei vertici e la distanza focale.

a questo punto avendo io sempre inteso i vertici come punti di incontro tra la funzione e agli assi cartesiani non mi ritrovo con la soluzione del testo che da come vertici $(-1,1)$ e $(3,-3)$

Inoltre come distanza focale risulta $8$

non trovo però nessuna formula per trovare i fuochi di un'iperbole omografica, formule invece chiarissime sulle normali iperboli equilatere.

Mi potete gentilmente spiegare come diavolo fare? 

Grazie mille

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Osserva la figura allegata:

image

Rispetto alla solita equazione dell'iperbole:

x^2/α - y^2/β = 1

che ha assi x=0 ed y=0

la funzione omografica si ottiene tramite rotazione oraria di un angolo pari a 45° rispetto al suo centro.

Quindi i vertici si troveranno sulla retta y=-x (che passa per il centro C)

quindi per i vertici li troverai mettendo a sistema:

{y = (x + 3)/(1 - x)

{y=-x

Per le coordinate dei fuochi puoi fare riferimento al link:

https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-analitica/454-funzione-omografica.html

@lucianop 

Grazie Luciano, tutto chiaro. 

@pino85

Di nulla. Buonanotte.

@lucianop 

luciano un ultima cosa ma l'equazione dell'iperbole equilatera

non è $xy=k$?

quella che hai scritto tu $x^2/a+y^2/b=1$ è quella dell'ellisse giusto?

@pino85

Si ho corretto. La funzione omografica si può ottenere dalla classica iperbole con centro nell'origine, traslandola e ruotandola.

(xy=k è una funzione omografica con con assi x=0 ed y=0)



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image

@immenso 

Eccole le formule che cercavo. Grazie mille.

ho riprovato anche con queste e risulta tutto corretto. Fondamentalmente sono le coordinate dei fuochi traslate di un vettore "centro" dell'iperbole. E poi posso applicare la distanza tra i fuochi normalmente con la formula della distanza tra due punti



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