[Risolto] Distribuzione di Poisson

Problema:

Sia $X$ una variabile aleatoria di Poisson di parametro $\lambda >0$ tale che la probabilità dell'evento $X=3$ è uguale alla probabilità dell'evento $X=4$. Qual è il valore di $\lambda$?

Soluzione:

Per trovare il parametro $\lambda$ di una distribuzione di Poisson, data la probabilità $\mathbb{P}(X=k)$ e il numero di successi $k$, è necessario risolvere l'equazione della distribuzione di Poisson per lambda; nel caso in questione si pone anche $\mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(X=4)$.

La relazione da utilizzare è $\mathbb{P}(X=k) = \frac{λ^k  e^{-λ}}{k!}$, ove $\mathbb{P}(X=k)$ è la probabilità di osservare $k$ successi e $λ$ è il parametro di Poisson.

$\mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(X=4)$

$\frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}=\frac{\lambda^4 e^{-\lambda}}{4!}$

$4\lambda^3 e^{-\lambda}=\lambda^4 e^{-\lambda}$

Poiché $e^{-\lambda} \neq 0 \ \ \forall \lambda \in \mathbb{R}$

$4\lambda³=\lambda^4$

Supponendo $\lambda \neq 0$

$4=\lambda$.

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La formula applicata è la distribuzione di Poisson:

$ P(x)= e^{-\lambda}·\dfrac{\lambda^x}{x!}$

come si vede nel grafico la curva delle due probabilità dell'evento si incrociano al parametro $\lambda=4.$