DERIVATE

Se la retta è tangente al grafico e passa per il punto $P(0;1)$ allora passa per un punto del grafico e il punto di tangenza, quindi possiamo scrivere l'equazione di ogni retta passante per il grafico e per $P$ come una retta passante per i punti $(P, (x,(f(x)))$, quindi scriviamo:

$\frac{y-1}{1-f(x_0)}=-\frac{x}{x_0}$ dove $(x_0, f(x_0))$ è un punto di $f(x)$.

Allora scriviamo che:

$r,\ s:\ y= \frac{f(x_0)-1}{x_0}x+1$

Nota che $\frac{f(x_0)-1}{x_0}$ è il coefficiente angolare della retta, che deve essere tangente alla curva di partenza, allora il coefficiente angolare deve essere uguale alla derivata $f'(x_0)$, quindi:

$\frac{f(x_0)-1}{x_0}=f'(x_0)$ risolviamo questa equazione per $x_0$.

$f(x)= \ln(x)(1-\ln(x))$

$f'(x_0)=\frac{1-2\ln(x_0)}{x_0}$ per la regola del prodotto.

$\frac{\ln(x_0)(1-\ln(x_0))-1}{x_0}=\frac{1-2\ln(x_0)}{x_0}$

Posto $t=\ln(x_0)$:

$t(1-t)-1=1-2t$

$t-t^2-1=1-2t$

$t^2-3t+2=0$

$(t-2)(t-1)=0$

$t=2 \lor t =1, \implies \ln (x_0)= 2 \lor \ln (x_0) =1 \implies x_0=e^2 \lor x_0=e$

Chiaramente $e^2>e>1$ quindi la condizione è rispettata.

Sostituiamo $x_0$ nell'equazione di $r$:

$r:\ y=\frac{\ln(e)(1-ln(e))-1}{e}x +1$

$r:\ y=-\frac{1}{e}x+1$

Ora ricaviamo analogamente l'equazione di $s$:

(sfrutto il fatto che per $x_0=2$, la derivata è uguale al coefficiente angolare, quindi semplifico il calcolo utilizzando l'espressione della derivata)

$s:\ y=\frac{1-2\ln(e^2)}{e^2}x+1$

$s:\ y=-\frac{3}{e^2}x+1$.

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