Dimostrare se la convergenza uniforme di una successione di funzioni implichi o meno la convergenza uniforme della successione formata dalle derivate di tali funzioni.
Dimostrare se la convergenza uniforme di una successione di funzioni implichi o meno la convergenza uniforme della successione formata dalle derivate di tali funzioni.
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Livello 6
No, la convergenza uniforme di una successione non implica la convergenza uniforme della successione delle derivate.
Consideriamo ad esempio la successione:
$f_n(x)= \frac{1}{n} \sin(nx)$
E' abbastanza ovvio che $f_n(x) \rightarrow 0$ $\forall x$ uniformemente.
Se consideriamo però la successione delle derivate:
$f_n(x)' = \cos(nx)$
non converge uniformemente (in realtà eccetto qualche $x$, non converge affatto)
Noemi
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Livello 6