[Risolto] Continuità

$B=\frac{\mu_0in}{2}\left[\frac{l+2x}{\sqrt{(l+2x)^2+R^2}}+\frac{l-2x}{\sqrt{(l-2x)^2+R^2}}\right]$

Facciamo tendere $l$ a $\infty$. Studio i due addendi singolarmente per comodità:

$\lim_{l\rightarrow+\infty}\frac{l+2x}{\sqrt{(l+2x)^2+R^2}}$

Nota che $x$ rimane costante, dunque per $l\rightarrow +\infty$ abbiamo che $(l+2x)\approx l$ e dunque possiamo approssimare come:

$\lim_{l\rightarrow+\infty}\frac{l}{\sqrt{l^2+R^2}}$

Analogamente abbiamo che $l^2+R^2\approx l^2$ quindi:

$\lim_{l\rightarrow+\infty}\frac{l}{\sqrt{l^2}}=\lim_{l\rightarrow+\infty}\frac{l}{|l|}=1$

dove $|l|=l$ in quanto $l\rightarrow +\infty$ ed è dunque positivo.

Si procede esattamente allo stesso modo anche nel secondo addendo:

$\lim_{l\rightarrow+\infty}\frac{l-2x}{\sqrt{(l-2x)^2+R^2}}=\lim_{l\rightarrow+\infty}\frac{l}{|l|}=1$

Dunque abbiamo che:

$\lim_{l\rightarrow+\infty}\frac{\mu_0in}{2}\left[\frac{l+2x}{\sqrt{(l+2x)^2+R^2}}+\frac{l-2x}{\sqrt{(l-2x)^2+R^2}}\right]= \frac{\mu_0in}{2}[1+1]=\mu_0in$

Noemi