Circonferenza

L'equazione della circonferenza generica di centro C(0, h) e raggio r (0 < r < h) è
* Γc ≡ x^2 + (y - h)^2 = q = r^2
e quella della parabola con vertice nell'origine e concavità verso y > 0 è
* Γp ≡ y = k*x^2
con k > 0.
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Il sistema
* (y = k*x^2) & (x^2 + (y - h)^2 = r^2) & (0 < r < h) & (k > 0)
per i dati del testo diventa
* (y = k*x^2) & (x^2 + (y - 5)^2 = 16) & (k > 0)
con risolvente
* x^2 + (k*x^2 - 5)^2 - 16 = 0 ≡
≡ x^4 + (1/k^2 - 10/k)*x^2 + 9/k^2 = 0 ≡
≡ u^2 + (1/k^2 - 10/k)*u + 9/k^2 = 0 ≡
≡ (u = (10*k - 1 - √(64*k^2 - 20*k + 1))/(2*k^2)) oppure (u = (10*k - 1 + √(64*k^2 - 20*k + 1))/(2*k^2)) ≡
≡ (x = ± √((10*k - 1 - √(64*k^2 - 20*k + 1))/(2*k^2)))
oppure
≡ (x = ± √((10*k - 1 + √(64*k^2 - 20*k + 1))/(2*k^2)))
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Per
* 64*k^2 - 20*k + 1 = 0 ≡ (k = 1/16) oppure (k = 1/4)
le quattro ascisse d'intersezione coalescono in due ascisse doppie di tangenza, immaginarie in un caso, ma reali nell'altro
* T1(- 2*√3, 3), T2(+ 2*√3, 3)
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E2%2F4%2Cx%5E2%3D16-%28y-5%29%5E2%2Cy%3D3%5D

@giorgiaborrelli

Ciao.

Equazione cartesiana della circonferenza: x^2 + (y - 5)^2 = 4^2

Passiamo all'equazione implicita:

x^2 + (y^2 - 10·y + 25) = 16

x^2 + y^2 - 10·y + 9 = 0

Mettiamo quindi a sistema:

{y = a·x^2

{x^2 + y^2 - 10·y + 9 = 0

Procediamo quindi alla sostituzione:

x^2 + (a·x^2)^2 - 10·(a·x^2) + 9 = 0

x^2 + (y^2 - 10·y + 25) - 16 = 0

a^2·x^4 + x^2·(1 - 10·a) + 9 = 0

Equazione di 4° grado, trinomia, con la possibilità di 4 radici. Per essa calcoliamo la condizione di tangenza:

Δ = 0--------> (1 - 10·a)^2 - 36·a^2 = 0

64·a^2 - 20·a + 1 = 0--------> (4·a - 1)·(16·a - 1) = 0

a = 1/16 ∨ a = 1/4

Per la prima radice si ottiene:

(1/16)^2·x^4 + x^2·(1 - 10·(1/16)) + 9 = 0

x^4/256 + 3·x^2/8 + 9 = 0

x = - 4·√3·i v x = 4·√3·i     quindi immaginarie che scartiamo.

Per la seconda radice otteniamo:

(1/4)^2·x^4 + x^2·(1 - 10·(1/4)) + 9 = 0

x^4/16 - 3·x^2/2 + 9 = 0------> (x^2 - 12)^2/16 = 0

x = - 2·√3 ∨ x = 2·√3

Quindi due radici reali. Dunque la parabola tangente è :  y = 1/4·x^2