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[Risolto] Circonferenza

  

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Scrivi l'equazione della circonferenza con il centro nel punto $Q(3 ; 5)$ e tangente all'asse $x$. Determina le intersezioni $A$ e $B$ della circonferenza con l'asse $y$.
Detto $C$ il punto di tangenza della circonferenza con l'asse $x$, trova l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse $x$ passante per $A$, per $B$ e per $C$. Sull'arco $A B$ di parabola determina il punto $P$ tale che la somma delle sue distanze dagli assi cartesiani sia uguale a $\frac{13}{3}$.
$$
\left[x^{2}+y^{2}-6 x-10 y+9=0 ; A(0 ; 9), B(0 ; 1) ; C(3 ; 0), x=\frac{1}{3} y^{2}-\frac{10}{3} y+3 ; P\left(-\frac{7}{3} ; 2\right)\right]
$$

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@giorgiaborrelli

Ciao di nuovo.

Equazione cartesiana della circonferenza:

(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 5^2   

centro Q(3,5) raggio r =5 dovendo essere tangente in C(3,0)all'asse delle x.

Equazione implicita:

(x^2 - 6·x + 9) + (y^2 - 10·y + 25) = 25

x^2 + y^2 - 6·x - 10·y + 9 = 0

Determino i punti A e B:

{x^2 + y^2 - 6·x - 10·y + 9 = 0

{x = 0

Quindi per sostituzione:    0^2 + y^2 - 6·0 - 10·y + 9 = 0

y^2 - 10·y + 9 = 0-------> (y - 1)·(y - 9) = 0------> y = 9 ∨ y = 1

A(0,9) e B(0,1)

La parabola ad asse orizzontale deve quindi avere equazione:

x = a(y-9)(y-1) deducibile per il passaggio per A e B.

Il coefficiente a lo determino imponendo il passaggio per C:

x = a·y^2 - 10·a·y + 9·a------> 3 = a·0^2 - 10·a·0 + 9·a-------> 3 = 9·a-----> a = 1/3

parabola:  x = 1/3·y^2 - 10·(1/3)·y + 9·(1/3) 

x = y^2/3 - 10·y/3 + 3

Il suo generico punto è P(y^2/3 - 10·y/3 + 3, y)

tenendo conto che il valore di x nel tratto AB è, per la parabola negativo, si deve considerare il modulo:

ABS(y^2/3 - 10·y/3 + 3) + y = 13/3

Risolvendo tale equazione si ottiene: y = 7/2 - √65/2 ∨ y = 2 (cioè: y = -0.5311288741 ∨ y = 2)

Si scarta il valore negativo perché l'ordinata y nel tratto considerato è 1<y<9

Quindi: P(2^2/3 - 10·2/3 + 3, 2)------> P(-7/3,2)

 

 

@lucianop non capisco come l’ultima equazione possa risultare 2. come si risolve? grazie

@maria.st

Cioè non ti è chiaro come si risolve un' equazione in modulo ? o altro?

@lucianop non mi risulta il 2

ABS(2^2/3 - 10·2/3 + 3) + 2=

=ABS(4/3-20/3+3)+2=

=ABS(-7/3)+2=7/3+2=13/3

Verifica fatta!
@maria.st



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