Chiarimenti di teoria (Analisi II): funzioni positivamente alpha-omogenee

Question

Studiando analisi II mi sono imbattuta nelle funzioni positivamente $\alpha$-omogenee

Definizione: Dato $\alpha \in \mathbb{R}$, una funzione $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è positivamente $\alpha$-omogenea se $f(tx)=t^\alpha f(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}^n$, $t>0$.

La definizione mi è abbastanza chiara, ma non riesco a trovare molte applicazioni nello studio di funzione oltre al fatto che quando una funzione è $0$-omogenea risulta essere costante sulle rette uscenti dall'origine ( $Span \{ (x,y) \}$, quindi sottospazi intrinsecamente 1-dimensionali riconducibili a curve parametriche) e dunque necessariamente non potrebbe ammettere limite nell'origine a meno che non sia la funzione essa stessa costante.

Quindi volevo sapere se esistessero altre applicazioni utili per facilitare lo studio di funzione.

Autore

Risposta

RebC

(@rebc)

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13/10/2025 11:44

EidosM · Accepted Answer

Esiste qualche applicazione scientifica delle funzioni positivamente omogenee ?

Sì, le funzioni positivamente omogenee trovano applicazioni scientifiche in fisica, economia, termodinamica, geometria algebrica e teoria dei sistemi critici. Sono strumenti fondamentali per modellare fenomeni con proprietà di scala o proporzionalità.

Ecco una panoramica delle principali applicazioni:

🔬 Fisica e teoria dei fenomeni critici

Teoria dello scaling: Le funzioni positivamente omogenee descrivono come le grandezze fisiche cambiano sotto trasformazioni di scala, ad esempio vicino ai punti critici nei cambiamenti di fase.
Gruppo di rinormalizzazione: In fisica teorica, queste funzioni aiutano a comprendere il comportamento di sistemi complessi quando si varia la scala di osservazione, come nei modelli di Ising o nei fluidi critici

Termodinamica chimica

Le principali funzioni di stato (energia interna, entalpia, entropia, energia libera di Helmholtz e di Gibbs) sono funzioni omogenee di grado 1 rispetto alle variabili estensive (volume, numero di moli, ecc.)

Questo riflette il fatto che raddoppiando la quantità di sostanza, raddoppiano anche le grandezze termodinamiche.

📈 Economia e microeconomia

Funzioni di produzione: Molti modelli economici assumono funzioni omogenee di grado 1 per rappresentare rendimenti di scala costanti — se raddoppi gli input, raddoppi l’output

Funzioni di domanda: In assenza di illusione monetaria, la domanda è omogenea di grado 0 rispetto a prezzi e reddito — se tutto viene moltiplicato per una costante, la scelta del consumatore resta invariata

Una tesi dell’Università di Padova ha approfondito l’uso delle funzioni positivamente omogenee per modellare domanda e offerta, evidenziando come esse aiutino a prevedere il comportamento di consumatori e imprese

📐 Geometria algebrica

I polinomi omogenei sono essenziali per definire luoghi geometrici in spazi proiettivi. La loro omogeneità garantisce che le proprietà geometriche siano indipendenti dalla scelta delle coordinate.

🧠 Altre applicazioni

Modelli matematici in ingegneria: Le funzioni omogenee sono usate per semplificare equazioni differenziali e sistemi dinamici.
Analisi dimensionale: In scienze applicate, l’omogeneità aiuta a verificare la coerenza delle equazioni fisiche.

EidosM

(@eidosm)

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13/10/2025 13:31

Gregorius · Answer

Questi sono i testi che più probabilmente contengono discussioni approfondite e sistematiche.

"Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide" di Frank Morgan

Sebbene sia un testo di teoria geometrica della misura, tratta le funzioni omogenee in modo molto chiaro, specialmente nel contesto delle funzioni a variazione limitata e dei funzionali integrali. L'omogeneità è cruciale per definire il "blow-up" di una funzione in un punto, che è una tecnica fondamentale in analisi per studiare la regolarità.

"Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation" di Giusti

Simile a Morgan, ma più analitico. Tratta in modo rigoroso le proprietà delle funzioni omogenee, specialmente quelle di grado 1, in connessione con i funzionali dell'area e le loro derivate.

"Convex Analysis" di R. Tyrrell Rockafellar

"Calculus of Variations" di Gelfand e Fomin

Il Calcolo delle Variazioni fa un uso massiccio del Teorema di Eulero per le funzioni omogenee. L'identità di Eulero appare naturalmente quando si derivano i funzionali integrali, specialmente quelli dove l'integrando è una funzione omogenea nelle derivate (ad esempio, il funzionale della lunghezza d'arco).

L'analisi convessa è un altro dominio dove l'omogeneità (in particolare l'omogeneità positiva di grado 1) è una proprietà fondamentale. La funzione di supporto di un insieme convesso è sempre 1-omogenea. Questo testo è il riferimento assoluto per l'argomento.

Se stai cercando informazioni online o su un database di libri, usa queste chiavi di ricerca:

"homogeneous function degree"

"Euler's homogeneous function theorem"

"positively homogeneous function"

"properties of homogeneous functions"

In sintesi: dimentica il termine "alpha omogenea" quando cerchi in inglese. Il concetto che cerchi è interamente racchiuso nell'espressione "homogeneous of degree α". Questo ti aprirà le porte a tutta la letteratura specialistica e non, in lingua inglese.

Gregorius

(@gregorius)

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13/10/2025 16:08

Chiarimenti di teoria (Analisi II): funzioni positivamente alpha-omogenee

🔬 Fisica e teoria dei fenomeni critici

Termodinamica chimica

📈 Economia e microeconomia

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🧠 Altre applicazioni

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