[Risolto] Capacità del condensatore

Un pacemaker rilascia un impulso di corrente al cuore 81 volte al minuto. Il condensatore che controlla questa frequenza si scarica attraverso un resistore di 1,8 Mohm. L'impulso è rilasciato ogni volta che il condensatore totalmente carico perde il 63,2 % della sua carica.
Qual è la capacità C del condensatore?

equazione della scarica di un condensatore 

Q = Qo*e^-t/Ƭ ...Ƭ essendo la costante di tempo R*C del circuito 

(1-0,632)Qo = 0,368Qo = Qo*e^-t/Ƭ

pongo t/Ƭ = k 

0,368 = e^-k

ln 0,368 = -k *ln e 

ln e = 1

k = -ln 0,368 = 1,00 = t/Ƭ

t = 60/81 sec 

Ƭ = t = 60/81 di sec = R*C

C = 60/(81*R) = 60/(81*1,8*10^6) = 4,12*10^-7 F  (412 nF)

Poiché la legge di scarica del condensatore è Q = Qo e^(- t/RC) deve risultare

e^(-T/RC) = 1-63.2/100 = 0.368 = e^(- 1)

da cui T/RC = 1

C = T/R = (60/81)/(1.8*10^6) F = 

= 20/(27*1.8)*10^(-6) F = 4.1*10^(-7) F

* frequenza f = (81 impulsi)/(1 minuto) = 81/60 = 27/20 = 1.35 Hz
* periodo T = 1/f = 20/27 = 0.(740) s
* resistenza R = 1.8*10^6 = 18*10^5 Ω
* capacità incognita C = x F
* costante di tempo della scarica τ = RC = 18*x*10^5 s
* perdita di carica trigger p = 63.2% = 79/125
* livello di soglia della scarica s = 1 - 79/125 = 46/125
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Dalla legge di scarica del circuito RC
* q(t) = Q*e^(- t/τ)
si ricava l'equazione risolutiva
* q(t)/Q = e^(- T/τ) = s ≡
≡ e^((20/27)/(- 18*x*10^5)) = 46/125 ≡
≡ e^(- 1/(2430000*x)) = 46/125 ≡
≡ ln(e^(- 1/(2430000*x))) = ln(46/125) ≡
≡ 1/(- 2430000*x) = ln(46/125) ≡
≡ x = 1/(2430000*ln(125/46)) ~= 4.116575/10^7 F ~= 41 μF