Disegna le parabole di equazioni
$$
y=x^2-7 x+10 \text { e } y=-x^2+8 x-12 .
$$
Conduci una retta parallela all'asse $y$ nella zona $S$ racchiusa dalle due parabole in modo che la corda intercettata su di essa dalle parabole abbia lunghezza massima. Calcola poi l'area di $S$ e delle due parti in cui $S$ resta divisa dalla retta trovata.
$$
\left[x=\frac{15}{4} ; S=\frac{343}{24} ; S_1=S_2=\frac{343}{48}\right]
$$
333
punti
Livello 1
Ciao di nuovo
Le due parabole: y = x^2 - 7·x + 10 e y = - x^2 + 8·x - 12
determinano una regione del piano (x,y) compresa fra i punti soluzione del sistema composto dalle stesse. Tali soluzioni sono:
x = 2 ∧ y = 0 v x = 11/2 ∧ y = 7/4
In tale regione bisogna determinare la corda verticale massima. La generica corda è la seguente funzione:
(- x^2 + 8·x - 12) - (x^2 - 7·x + 10) = - 2·x^2 + 15·x - 22
Quindi una parabola il cui valore massimo si ottiene in corrispondenza del suo vertice:
x=-b/(2a)-----> x/15/4
max=- 2·(15/4)^2 + 15·(15/4) - 22 = 49/8 (max valore della corda)
Adesso bisogna passare agli integrali per determinare le aree delle superfici richieste.
∫(- 2·x^2 + 15·x - 22) dx = - 2·x^3/3 + 15·x^2/2 - 22·x
per x compreso fra 2 e 15/4 si ottiene:
- 2·(15/4)^3/3 + 15·(15/4)^2/2 - 22·(15/4) = - 195/16
- 2·2^3/3 + 15·2^2/2 - 22·2 = - 58/3
Quindi:
S1=- 195/16 + 58/3 = 343/48
per x compreso fra 15/4 e 11/2 si ottiene:
- 2·(11/2)^3/3 + 15·(11/2)^2/2 - 22·(11/2) = - 121/24
- 2·(15/4)^3/3 + 15·(15/4)^2/2 - 22·(15/4) = - 195/16
S2= - 121/24 + 195/16 = 343/48
S = S1+S2=2S1=2·343/48 = 343/24
115510
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Genius III
Le parabole
* Γ1 ≡ y = x^2 - 7*x + 10 ≡ y = (x - 7/2)^2 - 9/4
* Γ2 ≡ y = - x^2 + 8*x - 12 ≡ y = 4 - (x - 4)^2
sono congruenti per avere la medesima distanza focale (f = 1/(4*|a|) = 1/4), con gli assi sfalsati di 1/2, concavità in versi opposti, ordinate dei vertici a Δy = 25/4.
Fra le intersezioni A(2, 0) e B(11/2, 7/4) la Γ2 sovrasta la Γ1 quindi la lunghezza delle corde da massimizzare è la differenza
* Γ2 - Γ1 ≡ y = - x^2 + 8*x - 12 - (x^2 - 7*x + 10) ≡
≡ y = - 2*(x - 2)*(x - 11/2) ≡
≡ y = 49/8 - 2*(x - 15/4)^2
anch'essa parabolica con asse x = 15/4 su cui c'è la corda con la massima lunghezza di y = 49/8; l'area S, che la corda sull'asse dimezza, è quella del segmento parabolico di base b = 11/2 - 2 = 7/2 e altezza h = yV = 49/8
* S = (2/3)*(7/2)*49/8 = 343/24
* S/2 = 343/48
57798
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Genius I
