Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
y=
{b·e^(a·x) + a per x ≤ 0
{2·b + ATAN(a·x) per x > 0
------------------------
y'=
{a·b·e^(a·x) per x ≤ 0
{a/(a^2·x^2 + 1) per x > 0
-------------------------
per x=0 ci deve essere continuità nella funzione e nella derivata
b·e^(a·0) + a = a + b
2·b + ATAN(a·0) = 2·b
a + b = 2·b
---------------
a·b·e^(a·0)= a·b
a/(a^2·0^2 + 1) = a
a·b = a
quindi:
{a + b = 2·b
{a·b = a
sistema che ammette soluzione:
[a = 0 ∧ b = 0, a = 1 ∧ b = 1]
eliminiamo quella banale..
Quindi:
y=
{e^x + 1 per x ≤ 0
{ATAN(x) + 2 per x > 0
-----------
y'=
{e^x per x ≤ 0
{1/(x^2 + 1) per x > 0
-----------------
punto di raccordo: [0, 2]
in tale punto: m = 1
y - 2 = 1·(x - 0)----> y = x + 2
per la derivata seconda non si ha più la continuità in x = 0:
y''=
{e^x per x ≤ 0
{- 2·x/(x^2 + 1)^2 per x > 0
risultando:
e^0 = 1
LIM(- 2·x/(x^2 + 1)^2) = 0
x---> 0+
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Genius III