Calcolo differenziale

$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{2x} \qquad \qquad \text{se x < 2  ∧  x ≠ 0} \\ x \cdot ln(x-1) \quad \text{se x ≥ 2} \end{cases} $

• Dominio = ℝ\{0}

a. Continuità.

Nei due tratti la funzione risulta essere continua laddove definita, essendo composizione, prodotto, rapporto di funzioni elementari continue. Rimane da provare la continuità nel punto di raccordo x = 2

$ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 $
$ f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = 0 $

La funzione è continua anche nel punto x = 2.

b. Derivabilità

Nei due tratti la funzione risulta essere derivabile laddove definita, essendo composizione, prodotto, rapporto di funzioni elementari derivabili. Rimane da provare la derivabilità nel punto di raccordo x = 2

$ f'(x) = \begin{cases} \frac{x^2+4}{2x^2} \qquad \qquad \qquad\text{se x < 2  ∧  x ≠ 0} \\ \frac{x}{x-1}+ ln(x-1) \quad \text{se x ≥ 2} \end{cases} $

Verifichiamolo calcolando le due derivate laterali nel punto x = 2

$ D^-f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f'(x) = 1$
$ D^+f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f'(x) = 2$

Le due derivate laterali sono diverse; si tratta di un punto angoloso.

c.  Tangenti

i) per x = -1 la tangente è data dalla $ y = f(-1) +f'(-1)(x+1) = \frac{3}{2}+\frac{5}{2}(x+1) = \frac{5x}{2} + 4 $

ii) per x = 2⁻ la tangente è data dalla $ y = f(2⁻) +f'(2⁻)(x-2) = 0+1(x - 2) = x-2 $

iii) per x = 2⁺ la tangente è data dalla $ y = f(2⁺) +f'(2⁺)(x-2) = 0+2(x - 2) = 2x-4 $