[Risolto] buonasera potete aiutarmi ?

L'equazione
* log(x, 7*x + k) = 2
definita per
* (7*x + k != 0) & (x != 0) & (x != 1) ≡ (x != - k/7) & (x != 0) & (x != 1)
ammette la radice x = r, con r né zero né uno, se e solo se
* (log(r, 7*r + k) = 2) & (r != 0) & (r != 1) ≡
≡ (r^log(r, 7*r + k) = r^2) & (r != 0) & (r != 1) ≡
≡ (7*r + k = r^2) & (r != 0) & (r != 1) ≡
≡ (k = (r - 7)*r) & (r != 0) & (r != 1)
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Per r = 2 si ha
* k = (2 - 7)*2 = - 10
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L'equazione
* log(x, 7*x - 10) = 2
definita per
* (x != 10/7) & (x != 0) & (x != 1)
si risolve riducendola, come scritto sopra, a
* 7*x - 10 = x^2 ≡
≡ x^2 - 7*x + 10 = 0 ≡
≡ (x - 2)*(x - 5) = 0 ≡
≡ (x = 2) oppure (x = 5)
e quindi sì, per tale valore di k, esiste una seconda radice (non "altre soluzioni", ORRORE!).
LA SOLUZIONE (solo singolare) è in ogni caso una sola, e può essere solo una di tre:
* la dimostrazione che il problema è impossibile (la soluzione è l'insieme vuoto);
* la dichiarazione che il problema è indeterminato (la soluzione è la formula delle radici);
* la esibizione dell'insieme non vuoto di tutti e soli i valori delle radici.

@mariobassi 

per definizione:

x^2=7x+k

per x=2 ———> 7*2+k=4———>k=-10

Si ha quindi: log(x,7x-10)=2

le soluzioni sono accettabili se:

7x-10>0———> x>10/7

Poi:

x^2=7x-10————>x^2-7x+10=0

(x-2)*(x-5)=0

si ottiene x=2 v x=5