Asintoti, punti stazionari e flessi.

Preliminari

$ y(x) = x + \frac{1}{2} (\frac{x+1}{x-1})^2 $

$ y'(x) = \frac{x^3-3x^2+x-3}{(x-1)^3} = \frac{(x-3)(x^2+1)}{(x-1)^3} $

y"$(x) = \frac{4(x+2)}{(x-1)^4} $

• Dominio  = ℝ\{1}
  • Un solo punto di discontinuità; x = 1

• Asintoti
  • Verticali
    • $\displaystyle\lim_{x \to 1} y(x) = + \infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 1

• • Obliqui
    • $ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = 1 $
    • $ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) - x = \frac{1}{2} $ 

Si tratta di un asintoto obliquo di equazione $y = x + \frac{1}{2}$

• Punti stazionari/estremanti
  • $y'(x) = 0 \; ⇒ \; x = 3$
    • y"$(3) = \frac{20}{16}$ che è un valore positivo quindi si tratta di un minimo 
    • y(3) = 5 ⇒ min(3, 5)

• Punti di flesso
  • y"$(x) = 0 \; ⇒ \; x = -2 \; ⇒ \; F(-2, -\frac{35}{18}) $
  • Verifichiamo che trattasi di un flesso

Segno derivata seconda in un intorno di x = -2

_________-2________-1__

-------------0+++++++++   3(x+2)

+++++++++++++++X+   (x-1)⁴

------------0+++++++X +    y"(x)

Si tratta di un flesso infatti oltre ad annullare la derivata seconda si ha un cambio di concavità. 

Flesso, $F(-2, -\frac{35}{18})$ 

Grafico