[Risolto] Asintoti, punti stazionari e flessi.

$ y(x) = e^{\frac{x^2}{x-1}} $

• Dominio = ℝ\{1}
  • un punto di discontinuità x = 1
  • La funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio.

• Asintoti verticali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} y(x) = 0 $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = +\infty $
  • Si tratta di un asintoto verticale destro di equazione x = 1.

• Asintoti orizzontali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = 0 $
  • si tratta di un asintoto orizzontale sinistro di equazione y = 0
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty $
  • Non si sono ne asintoti orizzontali ne asintoti obliqui destri visto che la funzione si comporta come la funzione esponenziale $ e^x$

• Massimi / minimi relativi 
  • Derivata prima. $y'(x) = \frac{x(x-2) e^{\frac{x^2}{x-1}}}{(x-1)^2} $  
  • Punti stazionari.  per x = 0 e per x = 2
  • Studio essenziale del segno della derivata prima

_____0_______1_______2_______

-------0++++++++++++++++++  x

------------------------------0+++++   x-2

++++0----------X----------0+++++   y'(x)

...↗....=.....↘....X.....↘.....=.....↗....    y(x)

Ne consegue che:

1. per x = 0 si ha un punto di massimo relativo (y(x) cresce a dx e decresce a sx) M(0,1) 
2. per x = 2 si ha un punto di minimo relativo (y(x) decresce a dx e cresce a sx) N(1,e⁴) 

• Flessi.

La funzione derivata y'(x):

• • ha un asintoto orizzontale sinistro. $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y'(x) = 0$
  • vale 0 per x = 0. $y'(0) = 0$
    • Per Weirestrass generalizzato ci deve essere un punto di massimo tra (-∞, 0)
  • tende a 0 per x → 1.
    • Per Weirestrass generalizzato ci deve essere un punto di minimo tra (0, 1)

La derivata prima y'(x) ha due punti stazionari nell'intervallo (-∞, 0). A tali punti sono associati 

due punti di flesso per la funzione y(x). 

Grafici della funzione e della sua derivata prima.

https://www.desmos.com/calculator/mzghfkg393