asintoti, punti stazionari e flessi.

$ y(x) = \sqrt[3] {3x-x^3} $

• Dominio y(x) = ℝ
  • Non ci sono punti di discontinuità, nessun asintoto verticale
  • Simmetria. La funzione y(x) è dispari
  • Asintoti obliqui
    • $ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = -1$
    • $ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) + x = 0$
    • Si tratta dell'asintoto obliquo di equazione y = - x

$ y'(x) = \frac{1-x^2} {\sqrt[3]{(3x-x^3)^2}} $

• Dominio y'(x) = ℝ\{±√3, 0}
  • Comportamento di y'(x) nei punti singolari
    • per x = 0
    • $\displaystyle\lim_{x \to 0} y'(x) = + \infty$

Siamo in presenza di una tangente verticale

• • • per x = ± √3
    • $\displaystyle\lim_{x \to ± √3} y'(x) = - \infty$

Siamo in presenza di tangenti verticali

• Zeri ovvero punti stazionari
  • y'(0) = 0  per x = ± 1 
    • dallo studio del segno di y'(x) che equivale al segno di (1-x²) segue che 
      • x = -1 è un punto di minimo   N(-1, -³√2)
      • x = 1 è un punto di massimo   M(1, ³√2)

y"$(x) = \frac{2(x^2+1)}{x(x^2-3)\sqrt[3]{(3x-x^3)^2}} $

• Dominio y"(x) = ℝ\{±√3, 0}
  • Zeri.  La derivata seconda di y(x) non si annulla laddove definita
  • Studio del segno y"(x)

_____-√3________0________√3_____

+++++++++++++++++++++++++  2(x²+1)

-----------------------X+++++++++++    /x

++++X---------------------------X++++   /(x²-3)

++++X+++++++++++++++X++++  ³√(3x-x³)²

-------X++++++++X------------X++++   y"(x)

Dallo studio del segno emerge che nei punti x = ±√3 e x = 0 c'è un cambio di convessità, essendo la funzione y(x) definita e continua sono tre punti di flesso con tangente verticale, come dimostrato in precedenza.

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