Area quadrato?

Suppongo che gli angoli ai vertici del quadrilatero con il contorno bianco siano retti.

Gli angoli dei triangoli in cui si divide il quadrilatero più grande sono a coppie congruenti, perché gli angoli del quadrato sono retti. Allora la somma degli angoli acuti tra i quali sono interposti i retti del quadrato è di $\frac{\pi}{2}$; pertanto gli angoli acuti sono tra loro complementari. Dato che i triangoli rettangoli individuabili hanno la stessa ipotenusa (il lato del quadrato) e gli stessi angoli adiacenti all'ipotenusa, sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (in particolare, anche il quadrilatero dal perimetro bianco è un quadrato di lato la somma $a+b$ dei cateti di un triangolo rettangolo).

Si sa che l'area della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo è di $\pi r^2 = 4 \pi$ da cui $r=2$. Si sa anche che l'area di un triangolo rettangolo è $\frac{1}{2}ab=pr=24$ dove $p$ è il semiperimetro del triangolo rettangolo.

$\dfrac{1}{2}ab=2\left ( \dfrac{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}{2} \right )$

$24=a+b+\sqrt{a^2+b^2}$

$24-(a+b)=\sqrt{a^2+b^2}$

$24^2-2 \cdot 24(a+b)+a^2+b^2+2ab=a^2+b^2$

$24^2-2\cdot 24 (a+b)+2ab=0$

Ricordando che $\dfrac{1}{2}ab=24 \implies 2ab=24 \cdot 4$ si sostituisce:
$24^2-2\cdot 24(a+b)+24 \cdot 4 =0$

$24-2(a+b)+4=0$

$a+b=14$

Dal teorema di Pitagora $\ell^2 = a^2+b^2$ (con $\ell$ il lato del quadrato rosso), quindi:

$(a+b)^2=14^2$

$a^2+b^2+2ab=14^2$

$\ell^2+96 = 196$

$\ell^2=100$

Ma l'area del quadrato rosso è proprio $\mathcal{A}=\ell^2$, quindi $\mathcal{A}=100$.

r = 2

d = 4 

C*c = 2*4 = 48 (terna trigonometrica 6,8,10)

C = 8 

c = 6

i = C+c-d = 14-4 = 10  come deve essere se il triangolo è rettangolo 

check = i^2 = 8^2+6^2 = 100