115964
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Genius III
Per la legge dei seni:
$\dfrac{8}{\sin(x)}=\dfrac{12}{\sin(2x)}$
$\dfrac{8}{\sin(x)}=\dfrac{12}{2\cos(x)\sin(x)}$
$\cos(x)=\dfrac{3}{4}$
Applicando la formula fondamentale:
$\sin(x)=\sqrt{1-\dfrac{9}{16}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
Calcoliamo l'area:
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}8 \cdot 12 \cdot \sin(180^{\circ}-3x)=48\sin(3x)$
$\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\sin(x)\cos(2x)=2\sin(x)\cos^2(x)+\sin(x)(2\cos^2(x)-1)=\sin(x)(4\cos^2(x)-1)$
Quindi:
$\mathcal{A}=48 \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} \left ( 4 \cdot \dfrac{9}{16}-1 \right )=15\sqrt{7}$.
Per completezza, $x=\arccos \left (\dfrac{3}{4} \right ) \approx 41.4096221093^{\circ}$.
2503
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Livello 3
@gabo 👍👌👍
sin 2x/sin x = 12/8 = 1,500
x = 41,4°
2x =82,8°
y = 180-41,4*3 = 55,8°
base AB = √8^2+12^2-2*8*12*cos 55,8 = 10,004
altezza h = 8*sin 2x = 7,9369
area A = 10,004*7,9369/2 = 39,70 u^2
143354
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Genius III
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Livello 8
