Area con gli integrali

Area = ∫[(f(x) - g(x)] dx; calcolato da x = - 3;  a x = 0;

f(x) è la parabola;

f(x) = - 2/3 x^2 - 8 /3 x  + 1/3;

per x = 0; f(0) = + 1/3;  A(0; + 1/3);:

per x = - 3; f(-3) = (- 2/3) * 9 - 8/3 * (-3) + 1/3;

f(-3) = - 6 + 8 + 1/3 = 2 + 1/3  = 7/3;  P(- 3; + 7/3);

Retta per A e P

m = (yP - yA) / (xP - xA);

m = ( 7/3 - 1/3) / (- 3 - 0) = + 6/3  / (-3);

m = + 2/(-3) = - 2/3;

y = - 2/3 x + q; troviamo q imponendo il passaggio in A(0; 1/3)

1/3 = - 2/3 * 0 + q;

q = 1/3;

retta g(x) = - 2/3 x + 1/3;

Area = ∫[(- 2/3 x^2 - 8/3 x  + 1/3) - ( - 2/3 x + 1/3) ] dx; da x = - 3;  a x = 0;

Area = ∫[- 2/3 x^2 - 8/3 x  + 1/3 + 2/3 x - 1/3) ] dx; da x = - 3;  a x = 0;

Area =∫[- 2/3 x^2 - 6/3 x ] dx; da x = - 3;  a x = 0;

Area =- 2/3∫[ x^2]dx  -  ∫[2 x] dx; da x = - 3;  a x = 0;

Area = - 2/3 * [x^3/3] - [x^2] = - 2/9 x^3 - x^2; da x = - 3;  a x = 0;

Area = (- 2/9 * 0 + 0)  -  [ - 2/9 * (-27) - (- 3)^2];

Area = 0 - [+ 6 - 9] = - 6 + 9 = 3.

@alby ciao.

Sono noiosa?

A = (0, 1/3)

Essendo y(-3) = -2/3*9 - 8/3*(-3) + 1/3 = - 6 + 8 + 1/3 = 7/3

P = (-3, 7/3)

mAP = (7/3 - 1/3)/(-3 - 0) = -2/3

e l'equazione della retta AP é y = -2/3 x + 1/3

Pertanto

Sp = S_[-3,0] (-2/3 x^2 - 8/3 x + 1/3 + 2/3 x - 1/3) dx =

= S_[-3,0] (-2/3 x^2 - 2x ) dx = [ - 2/9 x^3 - x^2 ]_[-3,0] =

= [ 0 - 0 ] - [ -2/9 * (-27) - 9 ] =

= 0 + 9 - 54/9 = 9 - 6 = 3

Verifica con altro metodo

Scrivo la risolvente in forma originaria

-2/3 x^2 - 8/3 x + 1/3 = -2/3 x + 1/3

-2/3 x^2 - 2x = 0

D = (-2)^2 - 0 = 4

Per la formula di Francesco risulta infine

Sp = sqrt(D^3)/(6 a^2) = sqrt(4^3)/(6*4/9) = 8/6 * 9/4 =

= 72/24 = 3

https://www.sosmatematica.it/contenuti/segmento-parabolico/