Aiuto trigonometria

Hai fatto correttamente finora (forse hai dimenticato $2r$ nell'ultimo passaggio?); prosegui con i calcoli:

$(2r\cos x)^2-2(2r\sin \left ( \dfrac{\pi}{4}-x \right ))^2 = \sqrt{3}r^2$

$4r^2 \cos^2 x-8r^2\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{4} -x \right ) = \sqrt{3}r^2$

dividiamo per $r^2 \neq 0$:

$4\cos^2 x -8\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right )^2 = \sqrt{3}$

Dopo le semplificazioni l'equazione diventa:

$4\sin^2 x -8 \cos x \sin x +\sqrt{3}=0$

$\sqrt{3}=\sqrt{3} \cdot 1 =\sqrt{3}(\sin^2 x + \cos ^2 x)$, quindi:
$(4+\sqrt{3})\sin^2 x -8 \sin x \cos x+\sqrt{3}\cos^2 x=0$

Possiamo dividere per $\cos^2 x$

$(4+\sqrt{3})\tan ^2 x -8 \tan x + \sqrt{3}=0$

Ponendo $t=\tan x$ abbiamo che:
$(4+\sqrt{3})t^2-8t+\sqrt{3}=0$

$t=\dfrac{8\pm \sqrt{64-4\sqrt{3}(4+\sqrt{3})}}{2(4+\sqrt{3})}=\dfrac{4 \pm \sqrt{16-\sqrt{3}(4+\sqrt{3})}}{4+\sqrt{3}}=\dfrac{4 \pm \sqrt{16-4\sqrt{3}-3}}{4+\sqrt{3}}=\dfrac{4\pm \sqrt{9-4\sqrt{3}+4}}{4+\sqrt{3}}=\dfrac{4\pm \sqrt{1-4\sqrt{3}+12}}{4+\sqrt{3}}=\dfrac{4 \pm \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2}}{4+\sqrt{3}}=\dfrac{4\pm (1-2\sqrt{3})}{4+\sqrt{3}}$

Vediamo prima la soluzione positiva:
$t=\dfrac{4+1-2\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}$

Razionalizzando

$t=2-\sqrt{3}$

quindi $x=\arctan (t) = \dfrac{\pi}{12}$ (con la calcolatrice, alternativamente potresti duplicare la tangente e ottenere il valore noto di $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, che è la tangente di $\dfrac{\pi}{6}$, quindi $x=\dfrac{\pi}{12}$)

Se proviamo la soluzione negativa invece otteniamo che $t>1$ (puoi verificarlo numericamente), cioè $x>\dfrac{\pi}{4}$, che chiaramente non è possibile per la configurazione geometrica del problema.

Verifica x=15°

2·SIN(2·x) + COS(2·x) = 1 + √3/2

2·SIN(α) + COS(α) = 1 + √3/2

2·SIN(pi/6) + COS(pi/6) = 1 + √3/2

OK!!