[Risolto] 158

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158)

Ipotenusa $AB= 2·r = 2·AO = 2×9 = 18~cm$;

proiezione cateto minore $AH= x$;

proiezione cateto maggiore $HB= 18-x$;

imposta un'equazione utilizzando il 2° teorema di Euclide:

$\dfrac{(4\sqrt5)^2}{x} = 18-x$

$(4\sqrt5)^2 = x(18-x)$

$16×5 = 18x-x^2$

$80=18x-x^2$

riordina cambiando i segni se passi l'uguale ed eguaglia a zero:

$x^2-18x+80 = 0$

equazione di secondo grado completa, quindi:

$a= 1$;

$b=-18$;

$c= 80$;

$∆= b^2-4ac = (-18)^2-4·1·80 = 324-320 = 4$;

applica la formula risolutiva:

$x_{1,2}= \dfrac{-b±\sqrt{∆}}{2a} = \dfrac{-(-18)±\sqrt4}{2·1}= \dfrac{18±2}{2}$

risultati:

$x_1= \dfrac{18-2}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$

$x_2= \dfrac{18+2}{2}=\dfrac{20}{2} = 10$

per cui:

proiezione cateto minore $AH= x= 8~cm$;

proiezione cateto maggiore $HB= 18-x = 18-8 = 10~cm$;

applicando ora il 1° teorema di Euclide puoi calcolare i cateti:

cateto minore $c= \sqrt{18×8} = \sqrt{144}=12~cm$;

cateto maggiore $C= \sqrt{18×10} = \sqrt{180}=6\sqrt5 ~cm$;

area $A= \dfrac{C·c}{2} = \dfrac{6\sqrt5×12}{2}=36\sqrt5~cm^2$;

perimetro $18+12+6\sqrt5 = 30+6\sqrt5~cm$.

158

ABC rettangolo in C (inscritto in una semi circonferenza con AB = diametro)

CH = 4√5

raggio AO = 9 cm

diametro AB  = 18 cm 

detta p la proiezione AH, ed invocando sant'Euclide, audemus dicere :

p*(18-p) = CH^2

18p-p^2 = 16*5 

p^2-18p+80 = 0 

p = (18±√18^2-80*4 = (18±2)/2 

p = (18-2)/2 = 8 cm

p' = 18-p = 18-8 = 10 cm 

noti p e p' e riapplicando Euclide si ha :

AC = √p*AB = √8*18 = 12 cm

BC = √p'*AB = √10*18 = √45*4= 2*3√5 = 6√5 cm

perimetro 2p = 12+18+6√5 = 6(2+3+√5) = 6(5+√5) cm 

area a = 9*4√5 = 36√5 cm^2