Consideriamo lo spazio campionario $\Omega$ e supponiamo che $H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}$ siano una partizione di $\Omega$, cioè che $H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}$ siano eventi di probabilità non nulla di $\Omega$, a due a due disgiunti, la cui unione è $\Omega$ :
$$
\Omega=H_{1} \cup H_{2} \cup \ldots . \cup H_{n}
$$
Considerato un qualsiasi evento $A \subseteq \Omega$, gli insiemi $A \cap H_{1}, A \cap H_{2}, \ldots, A \cap H_{n}$ risultano a loro volta a due a due disgiunti e la loro unione è $A$ (fig. 1, in cui $n=4)$
$$
A=\left(A \cap H_{1}\right) \cup\left(A \cap H_{2}\right) \cup \ldots \cup\left(A \cap H_{n}\right)
$$
Poiché gli eventi $A \cap H_{1}, A \cap H_{2}, \ldots, A \cap H_{n}$ sono disgiunti, abbiamo l’uguaglianza:
$$
p(A)=p\left(A \cap H_{1}\right)+p\left(A \cap H_{2}\right)+\ldots+p\left(A \cap H_{n}\right)
$$
che, in base alla formula delle probabilità composte, si può scrivere nella forma:
$$
p(A)=p\left(A \mid H_{1}\right) \cdot p\left(H_{1}\right)+p\left(A \mid H_{2}\right) \cdot p\left(H_{2}\right)+\ldots+p\left(A \mid H_{n}\right) \cdot p\left(H_{n}\right)
$$
Formula della probabilità totale
Sia $H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}$ una collezione di insiemi che forma una partizione dello spazio campionario. Allora, per ogni evento $A$, vale l’uguaglianza:
$$
p(A)=p\left(A \mid H_{1}\right) \cdot p\left(H_{1}\right)+p\left(A \mid H_{2}\right) \cdot p\left(H_{2}\right)+\ldots+p\left(A \mid H_{n}\right) \cdot p\left(H_{n}\right)
$$
È importante fare alcune osservazioni.
- Nel caso in cui si considerano, come partizione dello spazio campionario, i due insiemi:
$$
H_{1}=B \text { e } H_{2}=\bar{B}
$$
dove $B$ è un qualunque evento di probabilità non nulla; in tal caso la formula diventa più semplicemente:
$$
p(A)=p(A \mid B) \cdot p(B)+p(A \mid \bar{B}) \cdot p(\bar{B})
$$ - Gli eventi $H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}$ che costituiscono una partizione dello spazio campionario prendono anche il nome di alternative perché se ne può verificare uno e uno solo. Spesso è difficile calcolare $p(A)$ mentre è più facile calcolare $p\left(A \mid H_{i}\right)$, perché ciò significa calcolare $p(A)$ con l’informazione aggiuntiva proveniente dal sapere che si è verificato $H_{i}$.
ESEMPIO: Applicazione del teorema della probabilità totale
Un esperto di cavalli ritiene che il purosangue Furia sia più forte se corre con la pioggia. In particolare, l’esperto stima che Furia possa vincere con probabilità $10 \%$ in caso di tempo asciutto e con probabilità $25 \%$ in caso di pioggia. II servizio meteorologico prevede, per l’ora della gara, tempo asciutto con una probabilità del $30 \%$. Qual è la probabilità che Furia vinca la sua gara?
- Formalizziamo il problema
Indichiamo con $A$ l’evento «il giorno della gara il tempo è asciutto» e con $\bar{A}$ l’evento «il giorno della gara piove»; sia inoltre $V$ l’evento «Furia vince la gara».
Sappiamo che:
$p(V \mid A)=0,1 \quad$ Furia vince con probabilità $10 \%$ se il tempo è asciutto
$p(V \mid \bar{A})=0,25 \quad$ Furia vince con probabilità $25 \%$ se piove
$p(A)=0,3$ II tempo è asciutto con probabilità uguale al $30 \%$
Dobbiamo calcolare $p(V)$
- Calcoliamo le probabilità
I due eventi $A$ e $\bar{A}$ costituiscono un insieme di alternative (perché sono uno il complementare dell’altro) quindi possiamo applicare la formula della probabilità totale:
$$
\begin{array}{l}
p(V)=p(V \mid A) \cdot p(A)+p(V \mid \bar{A}) \cdot p(\bar{A})= \
=p(V \mid A) \cdot p(A)+p(V \mid \bar{A}) \cdot(1-p(A))= \
=0,1 \cdot 0,3+0,25 \cdot(1-0,3)=0,205=20,5 \%
\end{array}
$$
Problemi di probabilità e diagrammi ad albero
Possiamo rappresentare il problema risolto nel precedente esempio con il diagramma ad albero:
Nel diagramma abbiamo esplicitato il significato delle probabilità rappresentate sui rami. È importante osservare quanto segue.
- La somma delle probabilità corrispondenti ai rami che escono da un medesimo nodo è sempre uguale a 1. Ciò dipende dal fatto che i rami che escono da un nodo rappresentano eventi incompatibili.
- La probabilità dell’evento rappresentato da un cammino (cioè da una successione di rami) è il prodotto delle probabilità segnate sui rami da cui è costituito. Questa proprietà non è altro che la «trasposizione» sul diagramma ad albero della regola delle probabilità composte; per esempio, il cammino rappresentato in rosso in figura rappresenta l’evento $A \cap V$ e risulta:
3. La probabilità di un evento è la somma delle probabilità di tutti i cammini che conducono a esso. Questa proprietà non è altro che la «trasposizione» sul diagramma ad albero della formula della probabilità totale. Per esempio, nel diagramma riportato in figura, ci sono due cammini (quello colorato in rosso e quello colorato in blu) che conducono all’evento $V$; la probabilità di $V$ è la somma delle probabilità dei due eventi rappresentati da questi due cammini; infatti:
La risoluzione di molti problemi di probabilità può essere facilitata rappresentandoli con opportuni diagrammi ad albero e tenendo presente le regole 1, 2 e 3 enunciate sopra.