Un’equazione o disequazione è irrazionale se in essa ci sono radicali contenenti l’incognita.

Esaminiamo le disequazioni irrazionali del tipo

oppure , con intero.

  • Se n è dispari, sia la prima sia la seconda disequazione si risolvono elevando alla potenza n-esima entrambi i membri, ottenendo cosi una disequazione equivalente a quella data, cioè:

è equivalente a ;

è equivalente a .

  • Se n è pari, consideriamo il caso n=2 e applichiamo il seguente principio.

Se a e b sono due numeri reali positivi o nulli, la relazione di disuguaglianza che c’è fra i due numeri è la stessa che c’è fra i loro quadrati:

La relazione enunciata nel principio può non essere valida se i due numeri non sono entrambi positivi o nulli.

Nei paragrafi seguenti sono trattate le disequazioni irrazionali applicate ad esercizi svolti.

Le disequazioni del tipo

La disequazione irrazionale è equivalente al sistema:

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione:

Essa è equivalente al sistema:

Ponendo le soluzioni trovate sul grafico, abbiamo:

Le soluzioni del sistema, e quindi della disequazione, sono:

Le disequazioni del tipo

L’insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale è l’unione delle soluzioni dei due sistemi:

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione:

Otteniamo:

Poniamo i valori trovati sul grafico per vederne la soluzione.

Primo sistema

Secondo sistema

Il primo sistema ha come soluzioni , il secondo . L’unione dei due intervalli dà l’insieme delle soluzioni della disequazione:

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