Ogni disequazione di secondo grado intera nell’incognita x può essere ricondotta alla forma normale:
, con
o alle analoghe disequazioni che si ottengono con i segni .
Possiamo sempre far riferimento ai casi in cui il coefficiente a è positivo. Infatti, se a è negativo, basta cambiare segno a tutti i termini e invertire il senso della disequazione.
Per determinare le soluzioni di una disequazione di secondo grado si considera l’equazione associata:
e si distinguono tre casi, a seconda del segno del discriminante :
L’equazione associata ha
Se l’equazione ha , ossia due soluzioni reali distinte, allora:
- la disequazione (con a>0) è verificata per , ossia per valori esterni all’intervallo di estremi ;
- la disequazione ( con a>0) è verificata per ossia per valori interni all’intervallo di estremi .
L’equazione associata ha
Se l’equazione ha , ossia due soluzioni reali coincidenti , allora:
- la disequazione (con a >0) è verificata per qualunque valore di x diverso da ;
- la disequazione ( con a >0) non è mai verificata.
L’equazione associata ha
Se l’equazione ha , ossia non ha soluzioni reali:
- la disequazione (con a >0) è verificata per qualunque valore di x ;
- la disequazione (con a >0) non è mai verificata.