Il limite è $+\infty $
Se per i valori di x che si avvicinano a un certo $x_0$ i valori di una funzione crescono sempre più, diciamo che per x che tende a $x_0$ la funzione tende a $+ \infty $.
DEFINIZIONE:
Sia $f(x)$ una funzione e $x_0$ un punto di accumulazione per il suo dominio. Si dice che $f(x)$ tende a $+\infty $ per x che tende a $x_0$ e si scrive:
$$\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty $$
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di $x_0$ tale che risulti
$$f(x)>M$$
per ogni x appartenente a I e diverso da $x_0$.
Sinteticamente possiamo dire che $\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty $ se:
$$\forall\M >0 \space \space\exists I(x_0)|f(x) >M,\forall x\in I(x_0)-\left{x_0 \right}$$
Se $\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty$ , si dice anche che la funzione f diverge positivamente.
Il limite è $-\infty $
Ci sono funzioni che decrescono sempre di più in prossimità di un certo punto $x_0$, ossia che tendono a $-\infty $ per x che tende a $x_0$. In generale vale la seguente definizione.
DEFINIZIONE:
Sia $f(x)$ una funzione e $x_0$ un punto di accumulazione per il suo dominio. Si dice che $f(x)$ tende a $- \infty $ per x che tende a $x_0$ e si scrive:
$$\lim_{x \to x_0}f(x)=-\infty$$
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di $x_0$ tale che risulti
$$f(x)<-M$$
per ogni x appartenente a I e diverso da $x_0$.
In simboli, diciamo che $\lim_{x \to x_0}f(x)=-\infty$ se:
$$\forall\M >0 \space \space\exists I(x_0)|f(x) <-M,\forall x\in I(x_0)-\left{x_0 \right}$$
Se $\lim_{x \to x_0}f(x)=-\infty$, si dice anche che la funzione f diverge negativamente.
L’interpretazione della funzione è analoga a quella data per funzioni che divergono positivamente.
I limiti destro e sinistro infiniti
Anche per i limiti si possono distinguere limiti destri e sinistri.
Gli asintoti verticali
Può capitare che il grafico di una funzione si avvicini sempre più a quello di una retta. In tal caso la retta è un asintoto della funzione.
DEFINIZIONE
Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0 quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a $/infty$.
ASINTOTO VERTICALE
Data la funzione $y=f(x)$, se si verifica che
$$\lim_{x \to c}f(x)=\infty$$
si dice che la retta $x=c$ è asintoto verticale per il grafico della funzione.
ESEMPIO
Prendiamo in esame la funzione logaritmo
$$y=ln x$$
per la quale:
$$\lim_{x \to 0^+}ln x=-\infty$$
La retta $x=0$ è asintoto verticale del grafico della funzione.
