DEFINIZIONE: Limite finito per $x$ che tende a $+\infty$
Si dice che la funzione $f(x)$ ha per limite il numero reale l per $x$ che tende a $+\infty$, e si scrive:
$$\lim_{x \to \+infty }f(x)=l$$
quando, comunque si scelga un numero reale positivo $\varepsilon$, si può determinare un intorno completo I di $+\infty$ tale che:
$$|f(x)-l|< \varepsilon $$ per ogni x appartenente ad I.
Considerato che un intorno di $\infty$ è costituito da tutti gli x maggiori di numeri c, possiamo dire che $\lim_{x \to \infty }f(x)=l$ se:
$$\forall\varepsilon >0 \space \space\exists c >0|| f(x)-l| <\varepsilon, \forall x>c $$
DEFINIZIONE: Limite finito per $x$ che tende a $-\infty$
Si dice che la funzione $f(x)$ ha per limite il numero reale l per $x$ che tende a $-\infty$, e si scrive:
$$\lim_{x \to \-infty }f(x)=l$$
quando, comunque si scelga un numero reale positivo $\varepsilon$, si può determinare un intorno completo I di $-\infty$ tale che:
$$|f(x)-l|< \varepsilon $$ per ogni x appartenente ad I.
In simboli, $$\lim_{x \to \-infty }f(x)=l$$ se:
$$\forall\varepsilon >0 \space \space\exists c >0|| f(x)-l| <\varepsilon, \forall x<-c $$
I due casi precedenti possono essere riassunti in un solo caso se si considera un intorno di $\infty$ determinato dagli x per i quali
$|x|>c$ ossia $x<-c V x>c$
Si dice che $\lim_{x \to \infty }f(x)=l$ quando per ogni $\varepsilon >0$ è possibile trovare un intorno I di $\infty$ tale che $|f(x)-l|< \varepsilon $ per ogni x contenuta in I.
Gli asintoti orizzontali
DEFINIZIONE:
Data la funzione $y=f(x)$, se si verifica una delle condizioni
- $\lim_{x \to \+infty }f(x)=q$
- $\lim_{x \to \-infty }f(x)=q$
- $\lim_{x \to \infty }f(x)=q$
si dice che la retta $y=q$ è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.
Nel grafico proposto l’asintoto orizzontale è pari a y=L.