DEFINIZIONE: Punto di accumulazione
Si dice che il numero reale $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$, sottoinsieme di $\Re$, se ogni intorno completo di $x_0$ contiene infiniti punti di $A$.
ESEMPIO
Consideriamo l’insieme:
All’aumentare di $n$, i corrispondenti valori di $A$ si avvicinano al valore 1, come si può osservare dalla tabella:
È possibile verificare che il punto 1 gode della seguente proprietà: comunque scegliamo un intorno completo di 1 (anche di raggio molto piccolo), questo contiene infiniti elementi di A. Quindi 1 è un punto di accumulazione di A. Per esempio l’intorno $] 0,9; 1,1 [$ del punto 1 contiene infiniti punti di A:
$$\frac{10}{11} ,\frac{11}{12},\frac{12}{13}…$$
L’intorno $] 0,99; 1,01 [$ contiene altri infiniti punti di A:
$$\frac{100}{101} ,\frac{101}{102},\frac{102}{103}…$$
E così via.
Ogni punto di un intervallo è di accumulazione per l’intervallo stesso. Anche gli estremi dell’intervallo sono suoi punti di accumulazione.
ESEMPIO
Sia A l’insieme dei numeri reali compresi fra 2 e 5, ossia A = ] 2; 5 [. Il punto 3 di A è di accumulazione per A perché ogni intorno di 3 contiene infiniti punti di A. Anche i punti 2 e 5, che non appartengono ad A, sono di accumulazione per A.
