DEFINIZIONE: Limite finito per $x$ che tende a $x_0$
Si dice che la funzione $f(x)$ ha per limite il numero reale l per $x$ che tende a $x_0$, e si scrive:
$$\lim_{x \to x_0}f(x)=l$$
quando, comunque si scelga un numero reale positivo $\varepsilon$, si può determinare un intorno completo I di $x_0$ tale che risulti
$$|f(x)-l|< \varepsilon $$
In simboli la definizione si può formulare così:
$$\forall\varepsilon >0 \space \space\exists I(x_0)|| f(x)-l| <\varepsilon, \forall x\in I(x_0), x\neq x_0$$
Nella definizione appena data, considerando $\varepsilon$, pensiamo a valori che diventano sempre più piccoli.
Diremo che $\varepsilon$ è preso a “piccolo a piacere”.
Insoltre, se esplicitiamo il valore assoluto nell’espressione $|f(x)-l|< \varepsilon $, otteniamo:
$$-\varepsilon <f(x)-l<\varepsilon \rightarrow l-\varepsilon<f(x)<l+\varepsilon$$
Ossia $f(x)$ appartiene all’intorno $\left]l-\varepsilon ;l+ \varepsilon\right[$
Le funzioni continue
Abbiamo visto che una funzione può ammettere limite l in un punto $x_0$, anche se in $x_0$ non è definita. Quando invece $x_0$ appartiene al dominio di f, possiamo considerare la sua immagine $f(x_0)$. Se essa coincide con il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ allora di dice che f è continua in $x_0$
DEFINIZIONE: Funzione continua in un punto
Siano $f(x)$ una funzione definita in un intervallo [a;b] e $x_0$ un punto interno all’intervallo. La funzione $f(x)$ si dice continua nel punto $x_0$ quando esiste il limite di $f(x)$ per $x\rightarrow x_0$ e tale limite è uguale al valore $f(x_0)$ della funzione calcolata in $x_0$:
$$\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$$
Diciamo poi che f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D.
Sono funzioni continue nel loro dominio quelle il cui grafico è una curva senza interruzioni; è il cosa, per esempio, di una retta o di una parabola.
Elenchiamo le funzioni continue in $ \mathbb{R} $ (o in intervalli di $ \mathbb{R} $) più utilizzate, senza dimostrare la loro continuità.
La funzione costante
La funzione $f(x)=k$ è continua in tutto $ \mathbb{R} $. Infatti , in ogni punto $x_0$ di $ \mathbb{R} $ si ha:
$$\lim_{x \to x_0}k=k$$
La funzione f(x)=x
La funzione $f(x)=x$ è continua in tutto $ \mathbb{R} $, cioè per qualunque punto $x_0\in \mathbb{R} $ si ha:
$$\lim_{x \to x_0}x=x_0$$
Infatti $\forall \varepsilon <0$ risulta $|x-x_0|< \varepsilon $ per ogni $x\in ]x_0-\varepsilon ; x_0+\varepsilon[$
La funzione polinomiale
Ogni funzione polinomiale, ossia ogni funzione del tipo
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_ {n-1}x+a_n$$
è continua in $ \mathbb{R} $ .
In particolare sono continue in $ \mathbb{R} $ le funzioni espresse dalle potenze di $x$:
$$x,x^2,x^3,…,x^n$$
La funzione quadrata
La funzione, definita in $ \mathbb{R^+} \cup $ {0}
$$y=\sqrt{x} $$
è continua per ogni $x$ reale positivo o nullo.
Più in generale, sono continue le funzioni potenza con esponente reale, definite in $ \mathbb{R^+} $ :
$$y=x^\alpha \space \space \space (\alpha\in \ \mathbb{R})$$
Le funzioni goniometriche
Sono continue in $\mathbb{R}$ le funzioni sen x e cos x.
E’ continua anche la funzione in $\mathbb{R}-${$\frac{\pi }{2}+k\pi , k\in\mathbb{Z}$}
La funzione cotangente è continua in $\mathbb{R}-$ {$k\pi , k\in\mathbb{Z}$}
Infine si può dimostrare che anche le funzioni secante, cosecante, arcoseno, arcocoseno, arcotangente sono continue nel loro dominio.
La funzione esponenziale
La funzione esponenziale, definita in $\mathbb{R}$, $y=a^x$, con $a>0$, è continua in $\mathbb{R}$
La funzione logaritmica
La funzione logaritmica, definita in $\mathbb{R^+}$ , $y=\log _a x$, con $a>0$, $a\neq1$, è continua in $\mathbb{R^+}$
Il limite per eccesso e il limite per difetto
DEFINIZIONE: Il limite per eccesso
Se $f(x)$ è una funzione che ha limite finito l per $x$ che tende a $x_0$ e inoltre, in un intorno di $ x_0$ con al più $x\neq x_0$, assume sempre valori maggiori di l, si dice che $f(x)$ tende a l per eccesso e si scrive:
$$\lim_{x \to x_0}f(x)=l^+$$
Pertanto, la definizione di limite per eccesso si ottiene da quella più generale di limite, che abbiamo già visto, aggiungendo la confizione che $f(x)>l$ in un intorno di $x_0$. Poichè
$$|f(x)-l|<\varepsilon \wedge f(x)>l \Rightarrow 0<f(x)-l<\varepsilon $$
per verificare che $\lim_{x \to x_0}f(x)=l^+$, basta provare che per ogni $\varepsilon>0$ esiste un intorno I di $x_0$ tale che per ogni $x\inI$, con al più $x\neq x_0$ , si ha $0<f(x)-l<\varepsilon$, ossia $l<f(x)<l+\varepsilon$
DEFINIZIONE: Il limite per difetto
Si dice che $f(x)$ tende a l per difetto e si scrive
$$\lim_{x \to x_0}f(x)=l^-$$
se $f(x)$ è una funzione con limite finito l per $x$ che tende a $x_0$ e assume sempre valori minori di l in un intorno di $x_0$, con al più $x\neq x_0$.
La definizione di limite per difetto si ottiene, quindi, aggiungendo alla definizione generale di limite la condizione che $f(x)<1$ in un intorno $x_0$, ossia ponendo:
$$-\varepsilon <f(x)-l<0$$
Allora, per verificare che $\lim_{x \to x_0}f(x)=l^-$ , basta provare che per ogni $\varepsilon>0$ esiste un intorno I di $x_0$ tale che per ogni $x\inI$, con al più $x\neq x_0$ , si ha $-\varepsilon <f(x)-l<0$ , ossia $l- \varepsilon <f(x)<l$
Il limite destro e il limite sinistro
Il limite destro
Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo:
$$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=l$$
La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza $|f(x)-l|<\varepsilon$ deve essere verificata per ogni $x$ appartenete a un intorno destro di $x_0$, ossia a un intorno del tipo ]$x_0;x_0+\delta$[
Il limite sinistro
Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo:
$$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l$$
Anche per il limite sinistro valgono le stesse condizioni fatte per il limite destro, con la sola differenza che $|f(x)-l|< \varepsilon$ deve essere verificata per ogni $x$ appartenente a un intorno sinistro di $x_0$, ossia un intorno del tipo ]$x_0- \delta ;x_0$[.