Esercizi delle successioni

Secondo il regolamento è possibile richiedere un solo quesito per volta.

Problema:

Si considera la successione $(a_n)_{\mathbb{N}}$, definita per ricorrenza come segue:

$a_0=0$

$a_{k+1}=3a_k+3^k$

Dimostrare che la formula chiusa è $b_k=k3^{k-1}$ per ogni $k \in \mathbb{N}$.

Soluzione:

Dalle informazioni note l'unica cosa possibile da fare è calcolare alcuni valori $a_1, a_2, a_3$ per poi, tramite l'intuito, individuare la legge che seguono.

$a_1=3a_0+3^0=3(0)+3^0=1$

$a_2=3a_1+3^2=3(1)+3^1=6$

$a_3=3a_2+3^3=3(6)+3^2=27$

Si può osservare che $a_2=6=3 \times 2$ e che $a_3=27=3^2 \times 3$.

Si ipotizza quindi che la legge sia $a_k=3^{k-1}k$, la quale può essere dimostrata per induzione.

Per il passo $k=0$ è vera dato che, come dovrebbe essere secondo i dati forniti, $a_0=0$. 

Si assume quindi sempre vera la legge $a_n=3^{n-1}n$.

Per verificarne la veridicità assoluta si utilizza il passo induttivo con $k=n+1$.

È noto dai dati che $a_{k+1}=3a_k+3^k$, quindi è lecito porre $a_{k+1}=3(k3^{k-1})+3^k$.

Da qui si ottiene che $a_{k+1}=k3^k+3^k=3^k(k+1)$, questa espressione rispetta la legge trovata in precedenza, $a_k=3^{k-1}k$. 

Vale quindi $a_k=b_k$ per ogni $k \in \mathbb{N}$.