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[Risolto] Gravitazione

  

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Consideriamo, in una regione di spazio, due punti materiali aventi la medesima massa $m$ e un punto $P$ di massa $M$ equidistante da essi, come indicato in figura $A$.

A Determina l'espressione del modulo della forza $F(x)$ che agisce su $P$.
B Con l'aiuto del grafico (figura B), che rappresenta la funzione
$$
y=f(x)=\frac{x}{\left(x^2+1\right)^{3 / 2}}
$$
determina la posizione del punto $P, \operatorname{con} x>0$, affinché la forza $F(x)$ sia massima.

IMG 0143

Buonasera mi servirebbe la soluzione del punto B di questo problema senza l’uso delle derivate. Grazie

Autore

@nuovouaer ma come, io ti svolgo l'esercizio e tu mi clicki un cuorinfranto senza due parole di motivazione? Ingrata! O sei nei tuoi "giorni no" e non riesci a controllare le paturnie?

@exProf va bene ti spiego. Innanzitutto ti ringrazio per aver svolto l’esercizio però io avevo chiesto solo la soluzione del punto B (il punto A mi era già uscito) specificando SENZA LE DERIVATE. Non sono ancora arrivata a quel punto e quindi non le so fare.

@Nuovouaer
Va benissimo, ti spiego anch'io. Innanzitutto ti ringrazio di cuore (mio) per avermi spiegato il cuorinfranto (del voto) e passo ai tuoi "però".
1) "avevo chiesto solo la soluzione del punto B (il punto A mi era già uscito)" l'avevo letto, ma (come dovresti sapere) in un esercizio con più consegne è raro che queste siano indipendenti; per capire l'ottava servono i risultati esatti delle sette precedenti. Tu il risultato del punto A non l'hai pubblicato e, anche se l'avessi fatto, non me ne sarei fidato come non mi fido dei risultati attesi: troppi errori ho visto nei libri scolastici!
2) "specificando SENZA LE DERIVATE" non ho trascurato la clausola né t'ho mostrato alcuna derivata (sarebbe stato un oneroso esercizio di dattilografia); te le ho solo nominate per correttezza affinché tu sapessi da cosa nascesse il sistema risolutivo.
Beninteso, nulla di male nel dare in voto negativo; però è cortesia spiegarne il motivo, anche in poche parole.

1 Risposta



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* distanza |mM| = d = √(a^2 + x^2)
* forza mM = G*m*M/d^2 = G*m*M/(a^2 + x^2)
* cos(arctg(a/x)) = x/√(a^2 + x^2)
A) F(x) = 2*G*m*M*x/(a^2 + x^2)^(3/2)
con
* F'(x) = 2*G*m*M*(a^2 - 2*x^2)/(a^2 + x^2)^(5/2)
* F''(x) = 6*G*m*M*x*(2*x^2 - 3*a^2)/(a^2 + x^2)^(7/2)
---------------
B) Del grafico di
* f(x) = y = x/(1^2 + x^2)^(3/2)
non me ne può fregare di meno, per massimizzare F(x); applico la condizione di massimo relativo insieme ai vincoli geometrici
* (F'(x) = 0) & (F''(x) < 0) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ (a^2 - 2*x^2 = 0) & (x*(2*x^2 - 3*a^2) < 0) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ x = a/√2



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