Trova la stringa

Prima di arrivare alla soluzione del quesito, cerchiamo di capire perché ad ogni lettera è stato assegnato un numero e come questo ci può aiutare nella risoluzione dell'esercizio. Per capire questo ragionamento e di conseguenza riuscire a contare tutte le possibili combinazioni di caratteri, facciamo un passo indietro e cerchiamo di capire come si è sviluppato questo modo di contare. L'esigenza di contare è nata nell'uomo sin dall'antichità. Egli iniziò a rappresentare l'insieme dei suoi animali con oggetti concreti come bastoni incisi con delle tacche o sacchetti contenenti sassi. Con lo sviluppo degli scambi commerciali e con la nascita della scrittura questi modelli concreti furono sostituiti da simboli grafici: nacquero in questo modo i numeri.

Molti popoli hanno adottato un proprio sistema di numeri, ma alla fine, si è imposto a livello mondiale quello indio-arabo, perché più semplice ed efficace rispetto a tutti gli altri. Tutti i sistemi di numerazione sono classificabili in due grandi categorie: i sistemi numerici $Additivi$ e quelli $Posizionali$. Nei primi Ogni numero è rappresentato attraverso una successione di tali simboli ed il suo valore è dato dalla somma dei valori attribuiti a ciascuno di essi. Nei secondi il valore della cifra differisce a seconda della posizione occupata nel numero. Tra i più famosi sistemi additivi, oltre a quello romano, figurano quello egizio e quello attico. Un esempio di sistema posizionale con tutti i suoi pregi e difetti è il nostro amato sistema decimale. Un altro esempio è il sistema binario quindi in base $2$ utilizzato da tutti i calcolatori elettronici e digitali.

Cerchiamo di focalizzarci su questi sistemi di numerazione posizionali e vediamo cosa possiamo scoprire. Come tutti sappiamo fin dalle scuole elementari, possiamo scrivere qualsiasi numero in $forma$ $polinomiale$. Per capire cos'è questa forma polinomiale facciamo un esempio.

 

Consideriamo il numero $n$ $=$ $1872$.

$\bigl($ $migliaia$ $\bigr)$      $1$ $\cdot$ $1000$   $\iff$  $1000$ 

$\bigl($ $centinaia$ $\bigr)$    $8$ $\cdot$ $100$     $\iff$     $800$    

$\bigl($ $decine$ $\bigr)$          $7$ $\cdot$ $10$     $\iff$      $70$         

$\bigl($ $unità$ $\bigr)$             $2$ $\cdot$ $1$       $\iff$       $2$              

Moltiplicando ciascuna cifra per un multiplo di $10$ a seconda della posizione in cui si trova otteniamo la seguente forma :

$1872$ $=$ $1$ $\cdot$ $10^{3}$ $+$ $8$ $\cdot$ $10^{2}$ $+$ $7$ $\cdot$ $10^{1}$ $+$ $2$ $\cdot$ $10^{0}$ 

Questa scrittura è proprio quella che in matematica viene detta $forma$ $polinomiale$ $di$ $un$ $numero$ $intero$, che altro non è un "modo diverso" per rappresentare il numero dato.

 

Generalizzando questo concetto, possiamo rappresentare numeri in base $2$ quindi utilizzando soltanto $2$ simboli oppure in base $16$ utilizzando invece $16$ simboli. Ma la domanda che ci poniamo è : possiamo rappresentare un numero in una base qualunque $b$? La risposta è affermativa. In modo più formale possiamo dire che :

Ad ogni numero naturale $\lt$ $b$ associamo un simbolo detto $cifra$. Useremo queste $b$ cifre per denotare i numeri naturali $\lt$ $b$. Dato un numero naturale $n$ $\gt$ $0$ , possiamo rappresentare in base $b$ il numero $n$ in modo unico nella forma $c_{n}$$c_{n-1}$$...$$c_{1}$$c_{0}$, dove $c_{n}$$c_{n-1}$$...$$c_{1}$$c_{0}$ sono le cifre associate ai numeri naturali $\lt$ $b$ tali che :

                                     $\large{n}$ $=$ $\large{ \sum\limits_{i = 0}^{n}{c_{i} \cdot b^{i}}}$  

In questo caso scriveremo $\alpha$ $=$  $c_{n}$$c_{n-1}$$...$$c_{1}$$c_{0}$ per dire che $\alpha$ si scrive $c_{n}$$c_{n-1}$$...$$c_{1}$$c_{0}$ in base $b$, anche se in realtà $\alpha$ e la sua rappresentazione in base $b$ sono due cose totalmente diverse: $\alpha$ è un elemento dell'insieme dei numeri $N$, mentre $c_{n}$$c_{n-1}$$...$$c_{1}$$c_{0}$ è una sequenza di simboli ( le $b$ $cifre$ ).

Inoltre si noti che i numeri naturali $c_{n}$$c_{n-1}$$...$$c_{1}$$c_{0}$ $\lt$ $b$ tali che $n$ $=$ $\sum\limits_{i = 0}^{n}{c_{i} \cdot b^{i}}$  sono univocamente determinati. Per convincerci di questo fatto esiste un teorema, che qui non dimostreremo, il quale ci assicura che qualunque numero $n$ $\in$ $Z$ diviso per un certo numero $b$ risultano univocamente determinati il quoziente e il resto della divisione di $n$ per $b$.

 

Proviamo a scrivere il numero $1872$ nella forma polinomiale e mettiamo in evidenzia.

$1872$ $=$ $1$ $\cdot$ $10^{3}$ $+$ $8$ $\cdot$ $10^{2}$ $+$ $7$ $\cdot$ $10^{1}$ $+$ $2$ $=$

$10$ $\cdot$ $\bigl($ $1$ $\cdot$ $10^{2}$ $+$ $8$ $\cdot$ $10^{1}$ $+$ $7$ $\bigr)$ $+$ $2$. 

Ma ciò significa che $2$ risulta essere il resto della divisione di $1872$ per $10$. Ma ancora, il numero $7$ risulta essere il resto della divisione di $187$ per $10$ eccetera. Si viene così a creare una successione di divisioni in questo modo :

                         $10$ $\cdot$ $\bigl($ $1$ $\cdot$ $10^{2}$ $+$ $8$ $\cdot$ $10^{1}$ $+$ $7$ $\bigr)$ $+$ $2$

                         $10$ $\cdot$ $\bigl($ $1$ $\cdot$ $10^{1}$ $+$ $8$ $\bigr)$ $+$ $7$

                         $10$ $\cdot$ $\bigl($ $1$ $\bigr)$ $+$ $8$

                         $10$ $\cdot$ $0$ $+$ $1$

I numeri $2$, $7$, $8$, $1$ sono dunque univocamente determinati in quanto sono i resti delle divisioni successive. In modo del tutto analogo si procede a rappresentare in base $b$ un qualunque numero reale.

 

Ritornando ora al nostro esercizio, vediamo un pò che cosa possiamo dire in merito. Per prima cosa, come già sappiamo, vengono utilizzati $26$ simboli per rappresentare una qualsiasi stringa, o più precisamente, vengono utilizzati i $26$ caratteri dell'alfabeto. Supponendo di trovarci dunque in base $10$ affrontiamo il problema in modo analogo.

Trasformiamo la nostra stringa $math$ in forma polinomiale tenendo sempre conto che ad ogni lettera è stato associato un numero. Dunque abbiamo :

$M$ $=$ $13$ 

$A$ $=$ $1$

$T$ $=$ $20$ 

$H$ $=$ $8$

 

$13$ $\cdot$ $26^{3}$ $+$ $1$ $\cdot$ $26^{2}$ $+$ $20$ $\cdot$ $26^{1}$ $+$ $8$ $\cdot$ $26^{0}$

Facendo un pò di conti scopriamo che il numero ricavato da questa forma polinomiale è : $229.692$. Ma visto che abbiamo iniziato a contare da $0$ sommiamo $1$ al risultato finale.

Quindi siamo certi che dopo $229.693$ stringhe riusciremo a scrivere finalmente la nostra stringa $math$