Il solido generato da una rotazione della regione di piano racchiusa dall'ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ con $a>0 \mathrm{e} b>0$ intorno a uno dei suoi assi di simmetria si chiama ellissoide. Verifica che:
a. in una rotazione intorno all'asse $x$ si ottiene un ellissoide di volume $\frac{4}{3} \pi a b^2$;
b. in una rotazione intorno all'asse $y$ si ottiene un ellissoide di volume $\frac{4}{3} \pi a^2 b$.
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Volume per l'ellissoide che ruota attorno all'asse $x$
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
risolviamo per $y \qquad y=\pm b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$
usiamo il metodo dei "dischi"
$V=\pi \int_{-a}^{a}\left(b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \right)^2 dx =\pi b^2 \int_{-a}^{a} \left( 1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx $
Completiamo il calcolo dell'integrale
$\int_{-a}^{a} 1 dx -\frac{1}{a^2}\int_{-a}^{a} x^2 dx = 2a-\frac{2a}{3}=\frac{4a}{3} $
moltiplichiamo per il termine esterno $\pi b^2$ e otteniamo
$\pi b^2 \cdot \frac{4a}{3}= \boxed{\frac{4}{3}\pi a b^2}$
Volume per l'ellissoide che ruota attorno all'asse $y$
ricavi la funzione per $x=$ e poi procedi in modi simile a prima...
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Livello 1
@gcappellotto47 Grazie mille gentilissimo.
