Buongiorno hi difficolta nel verificare il seguente limite. Mi aiutereste?
grazie in anticipo
Buongiorno hi difficolta nel verificare il seguente limite. Mi aiutereste?
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Livello 1
Usando la definizione di limite finito al finito, e partendo dalla fine,
fissiamo eps > 0 e poniamo
| x^2 - 2x + 2 - 1 | < eps
| x^2 - 2x + 1 | < eps
(x - 1)^2 < eps
[] il valore assoluto é inutile se il suo contenuto é un quadrato []
- sqrt(eps) < x - 1 < sqrt(eps)
1 - sqrt(eps) < x < 1 + sqrt(eps)
La soluzione della disequazione contiene un intorno, in questo caso simmetrico, di xo = 1.
Ciò dimostra la validità del limite.
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Livello 7
dalla definizione di limite applicato al caso
$ \forall ε > 0 \quad \exists δ > 0 \; t.c. \; \forall (x-1)\in (-δ, δ) \; \text{ si ha } \; |x^2-2x+2-1| < ε$
Si tratta di dimostrare che esiste tale δ > 0.
$|x^2-2x+2-1| < ε $
$|x^2-2x+1| < ε $
$|(x-1)^2| < ε $
Numeri positivi, applichiamo la radice quadrata
$ \sqrt{(x-1)^2} < \sqrt{ε} $
$ |x-1| < \sqrt{ε} $
$ - \sqrt{ε} < x-1 < \sqrt{ε} $
Abbiamo così trovato il nostro δ = √ε
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Livello 6