Un'urna contiene 6 palline bianche ed $n$ palline nere, con $n \geq 1$. Un gioco consiste nell'estrarre una pallina dall'urna, osservarne il colore, quindi estrarre una seconda pallina dall'urna, senza reimmissione della prima. In ciascuna delle due estrazioni, il giocatore vince 2 euro se estrae una pallina bianca, mentre ne perde 3 se estrae una pallina nera.
Sia $X$ la variabile aleatoria che esprime la somma complessiva vinta o persa dal giocatore dopo le due estrazioni.
a. Determina la distribuzione di probabilità di $X$.
b. Verifica che il valore medio di $X$ è espresso dalla formula:
$$
E(X)=\frac{6(4-n)}{n+6}
$$
c. Determina per quali valori di $n$ il gioco è favorevole al giocatore. [a. $X$ può assumere i valori $-6,-1$, 4, rispettivamente con probabilità $\frac{n^2-n}{(n+5)(n+6)}$,
$$
\left.\frac{12 n}{(n+5)(n+6)}, \frac{30}{(n+5)(n+6)} ; \text { c. } 1 \leq n \leq 3\right]
$$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
