[Risolto] Un proiettile viene lanciato verticalmente alla velocità di 6,4 km/s

Trovo aberranti gli stati d'alterazione mentale in cui sono redatti esercizi come questo: scrivere un'istigazione a delinquere (= lasciarsi alle spalle la realtà che s'intende modellare) come «Per semplicità trascura l'effetto dell'attrito dell'aria, anche se in questa situazione l'attrito è tutt' altro che trascurabile.» (cioè gabellare per semplificazione un grave errore concettuale e un delitto didattico) invece di scrivere «Si lancia in verticale un punto materiale» senza la necessità di giustificazioni di lana caprina (NON SAREBBE STATO PIU' ONESTO?) è incomprensibile!
Per non dire nulla del miracolo balistico che sarebbe poter avere un lancio con 6400 m/s!
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Si chiede di calcolare l'altezza raggiunta da un punto materiale lanciato in verticale dalla Terra con velocità iniziale di 6,4 km/s.
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Se il campo gravitazionale fosse uniforme si avrebbe (per un punto materiale, non soggetto a forze dissipative, vale la conservazione dell'energia meccanica)
* v = √(2*g*h) ≡ h = v^2/(2*g) = (6400)^2/(2*9.80665) =
= 409600000000/196133 = 2088378 + 157726/196133 ~= 2088378.8 m
ma ovviamente, né a 2000 km di quota (R/3 ~= 2124 km) né durante il tragitto, non ci si può attendere alcuna uniformità.
Perciò, come tu hai correttamente notato, si dovrebbe iniziare dalla gravitazione universale
* g(y) = - μ/(R + y)^2
dove l'asse y è orientato in alto, y >= 0, la costante gravitazionale geocentrica è
* μ = G*M ~= 398600 km^3/s^2
e il raggio terrestre è
* R ~= 6373 km
quindi, nei limiti dei "~=", si ha
* g(y) = - 398600/(6373 + y)^2
e si dovrebbe avere anche
* h = v^2/(2*g) = (32/5)^2/(2*398600/(6373 + h)^2)
ma purtroppo pare che mi sia sfuggita qualcosa di essenziale.
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SONO SICURO D'AVERE SCRITTO UNA COFANA DI SCEMENZE (o sarà stato l'esercizio?) e resto in attesa di revisioni critiche.

Forse hai fatto solo un errore di calcoli, perché la conservazione dell'energia dovrebbe funzionare: chiedi che l'energia cinetica iniziale sia uguale all'energia potenziale gravitazionale finale:

$\frac{1}{2} mv ^2 = mgh $

La massa si semplifica:

$\frac{1}{2} v ^2 = gh $

e puoi trovare l'altezza:

$ h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(6400 m/s)^2}{2*9.81 m/s^2} = 2087665 m \approx 2087 km$

Noemi

banale conservazione/trasformazione dell'energia :

m*V^2 = 2*m*g*h 

la massa m "smamma"

h = V^2/2g = 6,4^2*10^3/19,612 = 2.089 km