triangolo rettangolo

@luigi2

@exprof

In risposta all'SOS lanciato dall'amico:

"ragazzi aiutatemi a capire la figura di questo problema", mi accingo a spedire la figura relativa, sperando che più avanti possa svolgere anche l'esercizio: (posto a=1)

Temo fortemente che la principale difficoltà a capire questo problema (e la sua figura, che si capirà solo dopo) sia ortografica: l'assenza d'interpunzione e l'uso capotico di accapo, maiuscole, spazi. Se ne potrebbe capire qualcosa, forse, se fosse scritto per bene; ad esempio come segue.
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TRIANGOLO RETTANGOLO
Ragazzi, aiutatemi a capire la figura di questo problema!
Sia AM la mediana relativa all ipotenusa BC del triangolo rettangolo ABC, con AB minore di AC, e sia P un punto di MB.
La corda PQ parallela ad AB interseca AM nel punto D che dista 8*a da P e 16*a da Q.
Sapendo che PQ è tangente alla circonferenza inscritta nel triancolo ABC, determinare perimetro del trapezio ABPQ e del triangolo ABC.
Si osserva che AD è uguale a BP.
Ragazzi, deve uscire 128*a e 200*a; aiutatemi a capire la figura. Grazie.
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Scritto così, un accapo per ogni periodo e maiuscoli solo i nomi dei punti, si può guardare complessivamente e comprendere di che si tratta: di trovare una relazione fra l'inraggio r e la misura del segmento PQ.
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A questo punto, dopo un bel po' di tempo sulla geometria euclidea, ho scritto il commento @LucianoP e poi, invocato dalla famiglia, sono andato a tavola.
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Ullallà!
Una generosa porzione di scialatielli con profumatissimi e saporiti funghi porcini (surgelati quest'estate sui monti dietro Salerno e devotamente riposti in freezer) con dell'ottimo Syrah (del Baglio Baiata degli Alagna) mi ha un po' schiarito qualche idea: procedo analiticamente e poi (il futuro è sulle ginocchia di Giove) si vedrà.
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Con il vertice A nell'origine, cerco le tangenti all'incerchio che individuino i vertici B(b, 0) e C(0, c), con b e c positivi.
Con r = 1, le coordinate dell'incentro
* I(b*c/(√(b^2 + c^2) + b + c), b*c/(√(b^2 + c^2) + b + c)) = (1, 1)
forniscono la relazione
* (b*c = (√(b^2 + c^2) + b + c)) & (0 < b < c) ≡
≡ (2 < b < 2 + √2) & (c = 2*(b - 1)/(b - 2))
e il segmento PQ giace sulla retta
* PQ ≡ y = 2
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Il sistema fra l'incerchio Γ e la generica retta t (che si vorrebbe tangente)
* ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1) & (x/c + y/b = 1) & (0 < b < c) ≡
≡ ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1) & (x/(2*(b - 1)/(b - 2)) + y/b = 1) & (2 < b < 2 + √2) ≡
≡ (y = b - (b/2)*((b - 2)/(b - 1))*x) & ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1) & (2 < b < 2 + √2)
ha risolvente
* (x - 1)^2 + (b - (b/2)*((b - 2)/(b - 1))*x - 1)^2 - 1 = 0
con discriminante
* Δ = 0
vale a dire che ogni retta del fascio
* t(b) ≡ y = b - (b/2)*((b - 2)/(b - 1))*x
tange l'incerchio, cioè individua l'ipotenusa BC.
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Il circumcentro è
* M(b/2, c/2) = (b/2, (b - 1)/(b - 2))
e il circumraggio AM giace sulla retta
* AM ≡ y = (2/b)*((b - 1)/(b - 2))*x
che, intersecata con PQ, dà
* (y = 2) & (y = (2/b)*((b - 1)/(b - 2))*x) ≡ D(b*(b - 2)/(b - 1), 2)
cioè
* |QD| = b*(b - 2)/(b - 1)
la raccolta degli elementi si conclude con
* (y = 2) & (y = b - (b/2)*((b - 2)/(b - 1))*x) ≡ P((2/b)*(b - 1), 2)
cioè
* |PQ| = (2/b)*(b - 1)
* |PD| = (2/b)*(b - 1) - b*(b - 2)/(b - 1) = - (b^3 - 4*b^2 + 4*b - 2)/(b*(b - 1))
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Il dato sul "punto D che dista 8*a da P e 16*a da Q" dice che
* b*(b - 2)/(b - 1) = - 2*(b^3 - 4*b^2 + 4*b - 2)/(b*(b - 1)) ≡
≡ b = (2/9)*(5 + (7/2)^(1/3) + 98^(1/3)) ~= 413/167 ~= 2.47
da cui (all'incirca, tanto per fare il disegno)
* c ~= 2*(413/167 - 1)/(413/167 - 2) = 492/79 ~= 6.23
* t(413/167) ~≡ y ~= 413/167 - (32627/82164)*x
* |PQ| ~= 492/413 ~= 1.19
* perimetro(ABC) ~= 413/167 + 492/79 + √((413/167)^2 + (492/79)^2) =
= 203196/13193 ~= 15.40
* (492/413)/(24*a) = (203196/13193)/x ≡ x = (4093656/13193)*a ~= (310.3)*a
che non solo non assomiglia a 200, ma nemmeno è intero.
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Come fece notare un certo Metastasio
Non è ver che sia la morte
il peggior di tutti i mali;
è un sollievo de' mortali
che son stanchi di soffrir
Beh, io concludo che non era l'ortografia il maggiore ostacolo a capire il problema.
M'ARRENDO, PUBBLICO QUESTA ROBACCIA SOLO A FUTURA MEMORIA (dovessi uscire di testa e darmi arie).

Ecco la risoluzione del problema proposto!

Ho posto per semplicità a=1

Essendo AM=MB perché raggi di una circonferenza di centro M (non disegnata in figura), essendo QP//AB il trapezio ABPD è isoscele, quindi AD=BP= √((2·r)^2 + 16^2) = 2·√(r^2 + 64)

Quindi con riferimento al trapezio rettangolo ABPQ possiamo dire che essendo circoscritto ad una circonferenza di raggio r:

QP+AB=AQ+BP---------  24+AB=2r+2·√(r^2 + 64)-------   AB=2r+2·√(r^2 + 64)-24

Coordinate di P:      P(24,2r)

Retta AM (con m=AQ/QD=2r/16=r/8):---------------------  y=r/8*x

Coefficiente angolare retta BC: m=-r/8; quindi sua equazione:  

y-2r=-r/8(x-24)---------------     y = 5·r - r·x/8------------          r·x + 8·y - 40·r = 0

La distanza da tale retta di O(r,r) centro della circonferenza  è uguale ad r:

r = ABS(r^2 + 8·r - 40·r)/√(r^2 + 8^2) risolvi ed ottieni: r = 15 ∨ r = 0

Quindi r=15

Da cui  AB=2·15 + 2·√(15^2 + 64) – 24= 40

Lato obliquo PB= √((40 - 24)^2 + 30^2) = 34

Perimetro trapezio ABPQ=40 + 34 + 24 + 30 = 128

Coordinate di C:

{ y = 5·r - r·x/8

{x=0

C(5r,0)------    C(75,0)

Con Pitagora lato BC= √(40^2 + 75^2) = 85

Perimetro ABC=85 + 40 + 75 = 200

Tutti i risultati ottenuti dovranno essere moltiplicati per  “a”