"E' data una semicirconferenza di diametro AB = 20 cm. Individua su di essa il punto C, la cui distanza dalla retta tangente alla semicirconferenza in B è 1/4 del diametro. Trova perimetro e area del triangolo ABC."
Ho inizialmente supposto che la base del triangolo misurasse 20 cm e il cateto minore 5 cm (1/4*20). Ero convinta di aver trovato i dati corretti poi però ho usato Pitagora per il calcolo dell'ipotenusa, sommato tutti i lati del triangolo e il risultato sul perimetro non ha coinciso
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Livello 1
Aspettate perché mi sono ricordata che il triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo
Ok, ho cercato di pensare a delle alternative sulla base di questo ma non è cambiato nulla. Non riesco comunque a progredire
Vediamo, mentre aspettiamo, di suggerirti altre soluzioni oltre la tua.
Io considero sul piano cartesiano la semicirconferenza espressa dalla funzione irrazionale:
y = √(100 - x^2).
Quindi retta tangente in B(10,0) ha equazione x=10.
La distanza in questione del punto C da tale retta e quindi pari a 10-x.
Adesso vai avanti tu. Intervengo se non hai capito come proseguire.
Buon lavoro!
Allora proseguo...
La distanza dalla retta tangente vale:20/4 = 5 cm dovendo essere 1/4 del diametro.
Determino l'altezza del triangolo ABC: la x che devo calcolare è: x = 10 - 5 = 5
L'altezza relativa all'ipotenusa Ab è:
y = √(100 - 5^2)-----> y = 5·√3
Quindi subito l'area: A = 1/2·20·5·√3 =50·√3----> A= 86.60254037 cm^2
Il perimetro lo ottieni determinando i cateti con Pitagora:
AC= √(15^2 + (5·√3)^2) = 10·√3 cm circa 17.32 cm
BC=√(5^2 + (5·√3)^2) = 10 cm
Sommi ed ottieni:
10 + 17.32 + 20 = 47.32 cm (perimetro)
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Genius III
il triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo.
L'ipotenusa è il diametro AB = 20 cm;
Il punto C dista da P sulla tangente:
CP = 1/4 * 20 = 5 cm dalla tangente in B che è perpendicolare al diametro.
HB = 5 cm; proiezione del cateto BC sull'ipotenusa AB;
Primo teorema di Euclide;
AB : BC = BC : HB; (il cateto è medio proporzionale fra ipotenusa e la sua proiezione).
BC^2 = AB * HB;
BC = radice(20 * 5) = radice(100) = 10 cm;
L'altro cateto AC = radice(20^2 - 10^2) = radice(300) = 17,32 cm;
Perimetro = 20 + 10 + 17,32 = 47,32 cm;
Area = 10 * 17,32 / 2 = 86,6 cm^2.
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Genius II
HAI SBAGLIATO LA SECONDA SUPPOSIZIONE: ad essere di lunghezza cinque non è il cateto BC, ma la sua proiezione HB sull'ipotenusa, se H è la proiezione di C.
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Le misure sono le seguenti, con unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2.
* |AB| = 20
* |AH| = 15
* |HB| = 5
* |CH| = √(|AH|*|HB|) = √(15*5) = 5*√3
* area A = |AB|*|CH|/2 = 20*5*√3/2 = 50*√3 ~= 86.6025 cm^2
* perimetro p = |AB| + |BC| + |CA| =
= |AB| + √(|CH|^2 + |HB|^2) + √(|CH|^2 + |AH|^2) =
= 20 + √((5*√3)^2 + 5^2) + √((5*√3)^2 + 15^2) =
= 10*(3 + √3) ~= 47.32 cm
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Genius I
