[Risolto] Triangolo ABC

a.

Pensiamo di applicare il teorema dei seni.

• cosα = 1/4 ⇒ sinα = ±√(1-cos²α) = ±√(1-1/16) = ± √(15)/4

Scartiamo la soluzione negativa.

• sinα = √(15)/4

Applichiamo il teorema

a/sinα = b/sinβ da cui

• sinβ = b*sinα/a = 3*(√(15)/4) / (3√5) = √(3)/4 ⇒
• cosβ = √(13)/4 

calcoliamo il seno del terzo angolo

• sinγ = sin(180°-(α+β)) = sin(α+β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ =

= √(15)/4 * √(13)/4 + (1/4)* √(3)/4 = 0,981

Applicando il teorema dei seni a/sinα = c/sinγ ricaviamo

• c = a*sinγ/sinα = 3√5*0,981/[√(15)/4] = 6,8 

b. 

Applichiamo il teorema del coseno

dalla c²=a²+b²-2ab*cosγ ricaviamo

• cosγ = (a²+b²-c²)/(2ab) = (12²+17²-20²)/(2*12*17) = 11/136 

a cui corrisponde un angolo di 1,489 radianti

analogamente

• cosα = (b²+c²-a²)/(2bc) = (17²+20²-12²)/(2*17*20) = 109/136 

a cui corrisponde un angolo di 0,641 radianti

• cosβ = (a²+c²-b²)/(2ac) = (12²+20²-17²)/(2*12*20) = 17/32

a cui corrisponde un angolo di 1,01 radianti

@given210

Ciao e benvenuto. Ti prego di leggere con attenzione il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

palesando le tue difficoltà. Un esercizio per volta! Quindi, se ho tempo e voglia ti spedisco la soluzione del primo. Ora ti invio la soluzione del secondo.

a = 12

b = 17

c = 20

p = (a + b + c)/2----->p = (12 + 17 + 20)/2--->p = 24.5 semiperimetro    (perimetro=2·p = 49)

p - a = 24.5 - 12= 12.5

p - b = 24.5 - 17= 7.5

p - c = 24.5 - 20= 4.5

--------------------

p=12.5 + 7.5 + 4.5 = 24.5

formula di Erone:

A = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c))=√(24.5·12.5·7.5·4.5) ---->A = 101.6658128 area

Con le formule di Briggs della tangente ti do gli angoli:

TAN(α/2) = √((p - b)·(p - c)/(p·(p - a)))

TAN(β/2) = √((p - a)·(p - c)/(p·(p - b)))

TAN(γ/2) = √((p - a)·(p - b)/(p·(p - c)))

------------------------------------------

TAN(α/2) = 3·√15/35------------> α = 0.6410461079 in radianti

TAN(β/2) = √15/7---------------> β = 1.010721020 in radianti

TAN(γ/2) = 5·√15/21------------> γ = 1.489825525 in radianti

Verifica:

0.6410461079 + 1.01072102 + 1.489825525 = 3.141592652  = pi

1)

c = √a^2+b^2-2*a*b*cos α = √9*5+9-2*3*3√5*0,25 = 6,629

perim 2p= 3√5+3+6,629 = 16,337 cm 

semiper. p = 8,168

area A = √8,168*( 8,168-5√3)*(8,168-3)*(8,168-6,629) = 9,738  cm^2

2)

semiper. p = 12+17+20 = 49/2 cm

area A = √24,5*(24,5-12)*(24,5-17)*(24,5-20) = 101,67 cm^2