Toeremi del calcolo differenziale con parametro.

f(x)=

{2·x - 1  se x ≤ 2

{a·x^2 + b·x - 5    se 2 < x ≤ 3

Th Lagrange nell'intervallo chiuso  0 ≤ x ≤ 3. Bisogna assicurare la continuità in tale intervallo della funzione e, nell'intervallo aperto 0 < x < 3 la sua derivata. Quindi bisogna assicurare la continuità delle due funzioni nel punto x = 2 in quanto nei restanti tale continuità è assicurata dalle componenti polinomiali della funzione definita a tratti.

x = 2----> 2·2 - 1 = 3

[2,3] deve essere il punto di raccordo.

LIM(a·x^2 + b·x - 5) = 4·a + 2·b - 5

x---> 2+

Quindi deve essere:

3 = 4·a + 2·b - 5

Passiamo alla derivata:

f'(x)=

{2   se x ≤ 2

{2·a·x + b    se 2 < x ≤ 3

Deve essere:

LIM(2·a·x + b)  = 4·a + b

x---> 2+

Quindi risolviamo il sistema:

{3 = 4·a + 2·b - 5

{2 = 4·a + b

ottenendo: [a = -1 ∧ b = 6]

f(x)=

{2·x - 1   se x ≤ 2

{- x^2 + 6·x - 5    se 2 < x ≤ 3

Agli estremi dell'intervallo considerato per Lagrange:

f(0)=2·0 - 1 = -1----> [0,-1]

f(3)= - 3^2 + 6·3 - 5= 4-----> [3,4]

Δy/Δx = (4 + 1)/(3 - 0) = 5/3

Quindi : 6 - 2·x = 5/3----> x = 13/6

- (13/6)^2 + 6·(13/6) - 5= 119/36

[13/6, 119/36]

Per la funzione inversa: