teorema euclide

I risultati sono P = 120 cm e S = 600 cm^2

Il primo teorema di Euclide riconduce il problema ad una equazione spuria di secondo grado.

2° Th Euclide:

(4/5·x)^2 = 3/5·x·32

16·x^2/25 - 96·x/5 = 0

16·x·(x - 30)/25 = 0

x = 30 ∨ x = 0

x=30 cm

ipotenusa= 32 + 3/5·30 = 50 cm

ΑΒ = √(50^2 - 30^2)= 40 cm (altro cateto)

perimetro=30 + 40 + 50 = 120 cm

area=1/2·30·40 = 600 cm^2

In un triangolo rettangolo il rapporto fra un cateto e la sua proiezione x sull'ipotenusa è 5/3. La proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa è 32 cm. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.

AB = 5x/3

AB^2 = x(x+32)  (Euclides dixit)

25x^2/9 = x^2+32x

16x^2 = 288x 

x = 288/16 = 18 cm 

ipotenusa AC = 18+32 = 50 (multiplo di un fattore 10 della prima terna pitagorica)

AB = 3*10 = 30 cm

BC = 4*10 = 40 cm 

perimetro 2p = 120 cm

area A = 30*40/2 = 600 cm^2

In un triangolo rettangolo il rapporto fra un cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa e 5/3. La proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa è 32 cm. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.

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Cateto minore $\small c= \dfrac{5}{3}x;$

proiezione cateto minore $\small p_1= x;$

ipotenusa $\small i= x+32;$

troviamo il valore di "x" applicando il 1° teorema di Euclide come segue:

$\small \dfrac{c^2}{p_1} = i$

$\small \dfrac{\left(\dfrac{5}{3}x\right)^2}{x} = x+32$

$\small \left(\dfrac{5}{3}x\right)^2= x(x+32)$

$\small \dfrac{25}{9}x^2= x^2+32x$

$\small 25x^2-9x^2-288x= 0$

$\small 16x^2-288x= 0$

$\small \dfrac{\cancel{16}x^2}{\cancel{16}}-\dfrac{\cancel{288}^{18}x}{\cancel{16}_1}= 0$

$\small x^2-18x= 0$

quindi:

$\small x(x-18) = 0$

$\small x_1 \Longrightarrow x=0;$

$\small x_2 \Longrightarrow x-18 =0 \longrightarrow x=18;$

per cui:

proiezione cateto minore $\small p_1= x = 18\,cm;$

cateto minore $\small c= \dfrac{5}{3}x = \dfrac{5}{\cancel3_1}·\cancel{18}^6 = 5·6 = 30\,cm;$

ipotenusa $\small i= x+32 = 18+32 = 50\,cm;$

i tre lati formano una terna pitagorica, comunque calcolando:

cateto maggiore $\small C= \sqrt{i^2-c^2} = \sqrt{50^2-30^2} = 40\,cm$ (teorema di Pitagora);

perimetro $\small 2p= C+c+i = 40+30+50 = 120\,cm;$

area $\small A= \dfrac{C·c}{2} = \dfrac{\cancel{40}^{20}·30}{\cancel2_1} = 20·30 = 600\,cm^2.$