Teorema di Rolle.

$ f(x) = \begin{cases} ax^2-2x+3 & -1 \le x \le 0 \\ x^2+bx+c & 0 \lt x \le 1 \end{cases} $

• 1° Ipotesi di Rolle. $f(-1) = f(1)$

$ f(-1) = a+2+3$   mentre $ f(1) = 1+b+c $  ⇒  a + 5 = b + c

• 2° Ipotesi di Rolle. f(x) continua in [-1, 1] Proviamo che lo è anche nel punto di raccordo
  • • f(0) = 3
    • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = c $

questo ci porta a dire che c = 3

• 3° Ipotesi di Rolle. La funzione f(x) è derivabile in (-1, 1)

Essendo f(x) continua è sufficiente  che le due derivate laterali, calcolate nel punto 0, siano eguali

• • •   D^-(0) = -2
    •   D^+(0) = b

questo ci porta a dire che b = -2

ne consegue che a = -3

La funzione f(x) è così

$ f(x) =\begin{cases} -3x^2-2x+3 & -1 \le x \le 0 \\ x^2-2x+3 & 0 \lt x \le 1 \end{cases}  $

la sua derivata sarà

$ f'(x) =  \begin{cases} -6x-2 & -1 \le x \le 0 \\ 2x-2 & 0 \lt x \le 1 \end{cases}  $

Un punto dove la derivata nulla sarà per 

$ -6x-2 = 0 $   cioè  $ x = -\frac{1}{3}$