TEOREMA DI ROLLE

a. La funzione deve essere continua in [-4, 2].

L'unico punto in dubbio è x = -1. Imponiamo la continuità 

• $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = a - 2b - 7 $
• $ f(-1) = -1-a $   

per essere continua i due valori devono essere eguali, quindi

a - 2b -7 = -1 - a ⇒ a - b - 3 = 0

nota: abbiamo omesso il limite da destra essendo il termine per x ≥ -1 continuo.

b. La funzione deve essere derivabile in (-4, 2).

La funzione derivata è:

$ f'(x) = \begin{cases} 2ax+2b &\text{ se x < -1}\\ 3x^2-2ax+b &\text{ se x ≥ -1} \end{cases} $

Rimane da verificare che lo sia anche nel punto x = -1. In altre parole le due derivate laterali devono essere eguali.

$ D^- f(x) = 2ax+2b ⇒ D^- f(-1) = -2a + 2b$

$ D^+ f(x) = 3x^2-2ax+b ⇒ D^+ f(-1) = 3 + 2a + b $

Imponiamo che siano eguali

-2a + 2b = 3 + 2a + b  ⇒ 4a - b + 3 = 0

Possiamo trovare i due parametri risolvendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} a-b-3 &= 0 \\ 4a-b+3 &= 0 \end{aligned} \right. $

che ammette come soluzione a = -2   ∧  b = -5 

La funzione f(x) è così definita 

$ f(x) = \begin{cases} -2x^2-10x-7 &\text{ se x < -1}\\ x^3+2x^2-5x-5 &\text{ se x ≥ -1} \end{cases} $

Rimane da verificare i valori assunti in frontiera

• f(-4) = -32+40-7 = 1
• f(2) = 8+8-10-5 = 1

Si tutte le ipotesik di Rolle sono soddisfatte.