Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
a. Lagrangia
Applichiamo il teorema di Lagrangia alla funzione data.
$f(x) = lnx - e^{-x+1} \; \implies \; f'(x) = e^{-x+1}+\frac{1}{x}$
$ f(1) = -1$
$f(2) = ln(2)-\frac{1}{2}$
Lagrangia ci dice che esiste almeno un c∈(1, 2) tale che
$ \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = f'(c)$
$ ln(2)-\frac{1}{e} + 1 = e^{1-x}+\frac{1}{x}$ Ho sostituito la c con la x dell'equazione.
b. riconduciamo questa espressione nell'equazione data
$ ln(2)-\frac{1}{e} - \frac{1}{x} = e^{1-x} - 1 $
$ ln(2)-\frac{x+e}{ex} = e^{1-x} - 1 $
$ exln(2)-x-e = xe^{2-x} - ex $
$ exln(2)+ex-e = xe^{2-x}+x $
$ e(xln(2)+x-1) = xe^{2-x}+x $
$ e(xln(2)+x-1) = x(e^{2-x}+1) $
Questa equazione ammette almeno una soluzione.
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Livello 6