Data la seguente funzione, verifica che nell'intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Lagrange
e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.
f(x)= 2x^2+x+1
[-2;3]
Data la seguente funzione, verifica che nell'intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Lagrange
e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.
f(x)= 2x^2+x+1
[-2;3]
16
punti
Livello 0
Perché il teorema di Lagrange sia applicabile, la funzione dev'essere:
- Continua nell'intervallo chiuso [a,b]
- Derivabile nell'intervallo aperto (a,b)
Nel nostro caso la funzione $f(x)=2x^2+x+1$ è una funzione polinomiale, il cui dominio è tutto $R$, dunque la funzione è continua in tutto il suo dominio e in particolare anche nell'intervallo [-2,3].
Inoltre è anche derivabile in tutto $R$, dunque anche in (-2,3), con derivata $f'(x)=4x+1$.
Possiamo applicare dunque il teorema, secondo cui deve esistere un punto $c\in (-2,3)$ tale che:
$f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
e nel caso specifico:
$f'(c)= \frac{f(3)-f(-2)}{3-(-2)}$
Abbiamo che:
$f'(c)=4c+1$
$f(3)=2(3)^2+3+1=22$
$f(-2)=2(-2)^2-2+1=7$
allora
$4c+1 = \frac{22-7}{3+2}$
$4c+1 = 5$
$c = 1$
nota che il punto, come richiesto dal teorema, è interno all'intervallo (-2,3).
Noemi
10479
punti
Livello 6