[Risolto] Teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull'ipotenusa è 2 cm in meno del cateto stesso. Sapendo che l'ipotenusa è lunga 8 cm, determina il perimetro e l'area del triangolo. 

(12 + 4 radical3 cm; 8 radical3 cm^2).

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Poni il cateto $=x$;

quindi:

proiezione del cateto $=x-2$

applica il primo teorema di Euclide con la seguente equazione:

$\frac{x^2}{x-2} = 8$

$x^2=8(x-2)$

$x^2 = 8x-16$ equazione di secondo grado completa perciò eguagliamo a zero: 

$x^2-8x+16 = 0$

risolviamo con i seguenti dati e calcoliamo la discriminante:

$a=1$;

$b=-8$;

$c=16$;

$∆=b^2-4ac = (-8)^2-4×1×16 = 64-64 = 0$ (discriminante = 0 quindi avremo 2 valori coincidenti, o doppia soluzione);

applica la formula risolutiva:

$x_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt{∆}}{2a}\, = \dfrac{-(-8)±\sqrt{0}}{2×1}\, = \dfrac{8±0}{2}\,= \dfrac{8}{2}\,=4$

$x_1=4$;

$x_2=4$;

quindi il cateto è $x=4~cm$;

proiezione del cateto sull'ipotenusa $= x-2 = 4-2 = 2~cm$;

proiezione dell'altro cateto $= 8-2 = 6~cm$;

sempre utilizzando il primo teorema di Euclide:

altro cateto $= \sqrt{8×6} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}~cm$;

perimetro $2p= 8+4+4\sqrt{3} = 12+4\sqrt{3}~cm$;

area $A= \dfrac{4×4\sqrt{3}}{2}\, = 8\sqrt{3} ~cm^2$.

In un triangolo rettangolo la proiezione del cateto c1 sull'ipotenusa è 2 cm in meno del cateto stesso. Sapendo che l'ipotenusa i è lunga 8 cm, determina il perimetro e l'area del triangolo. 

(12 + 4 radical3 cm; 8 radical3 cm^2)

applicando Euclide :

i*(c1-2) = c1^2 

c1^2 -8c1+16 = 0 

c1 = (8±√8^2-64)/2 = 4,0 cm 

c2 = √i^2-c1^2 = √64-16 = √48 = 4√3 m 

perimetro 2p = 4+8+4√3 = 12+4√3 = 4(3+√3) cm

area a = 4*4√3 /2 = 8√3 cm^2