Teorema dei valori intermedi

Problema:

Disegna il grafico di una funzione che nell'intervallo $[-2,2]$:

a. Soddisfa le ipotesi del teorema dei valori intermedi;

b. Non soddisfa le ipotesi del teorema dei valori intermedi ma verifica la sua tesi. 

Soluzione:

Il teorema dei valori intermedi asserisce che se una funzione è comtinua in un intervallo chiuso e limitato, questa assume ogni valore tra il suo massimo e il suo minimo in tale intervallo. 

a. Poiché l'intervallo è già un compatto, basta che la funzione soddisfi l'ipotesi di continuità. Una funzione banale potrebbe essere $y=x$.

b. L'unica ipotesi che non può soddisfare, dato che la compattezza dell'intervallo è imposta, è la continuità. Bisogna trovare una funzione discontinua che però assume tutti i valori tra il suo massimo e il suo minimo.

Si può considerare la funzione $y=x$ per $-2≤x<0$ e $y=x-2$ per $0≤x≤2$. (È una funzione perché ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio)

La funzione non è continua dato che in $0$ si ha $\lim_{x \to 0^-} y_1(x)=0 \neq y_2(0)=-2$, ma assume tutti i valori tra il suo massimo ($0$) e il suo minimo ($-2$).