Studia il segno e gli zeri di ciascuna delle seguenti funzioni, dopo averne determinato il dominio, e indica la parte del piano alla quale appartiene il suo grafico

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$y=\frac{\sqrt{x} + \sqrt{10-|x|}}{x^2-9}$

Troviamo il dominio ponendo la condizione di esistenza sui radicandi e sul denominatore:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ 10-|x| \geq 0 \\ x^2-9 \neq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\  |x| \leq 10 \\ (x+3)(x-3) \neq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \geq 0 \\ - 10 \leq x \leq 10  \\ x \neq 3 \lor x \neq -3 \end{cases}$

che alla fine risulta  $D= x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 10 -\{3\}$.

Iniziamo con il trovare gli zeri:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{10-|x|}}{x^2-9}=0$

$\sqrt{x}+\sqrt{10-|x|} = 0$

$\sqrt{x} = -\sqrt{10-|x|}$

che è impossibile perché una radice è sempre positiva o nulla, ma se $\sqrt{x}=0$ otteniamo che $-\sqrt{10-0}=-\sqrt{10}$ che chiaramente è diverso da $0$.

Per lo studio dei segni non dobbiamo preoccuparci del numeratore, perché essendo questo una somma di radici è sempre positivo o nullo (in questo caso non può essere nullo come abbiamo appena visto), quindi il numeratore nel nostro caso è sempre positivo.

Allora procediamo con lo studio del denominatore:

$(x+3)(x-3) > 0$

che è vera per $x<-3 \lor x>3$, allora è negativa per $ -3 <x<3$ (è negativa dove non è positiva dato che non abbiamo zeri). Ricordiamoci però che $0 \leq x \leq 10 \land x \neq 3$, quindi lo studio esatto del segno sarebbe:

$y >0 \implies 3 < x \leq 10$, $y<0 \implies 0 \leq x <3$

Quello che dovrai disegnare sul quaderno è quello che vedi in blu (dei rettangoli in corrispondenza degli insiemi di negatività e positività), aiutati guardando le disequazioni sulla sinistra.