[Risolto] SOS Equazione iperbole

L'iperbole è del tipo:

x^2/α - y^2/β = 1

con

α = a^2

β = b^2

poniamo poi:

ε = e^2 = 4 (testo)

e^2 = (c/a)^2 = (α + β)/α

Quindi sistema:

{(α + β)/α = 4

{3^2/α - √15^2/β = 1 passa per [3, √15]

Quindi:

{β/α = 3

{9/α - 15/β = 1

che fornisce soluzione: [α = 4 ∧ β = 12]

Quindi iperbole: x^2/4 - y^2/12 = 1

Circonferenza richiesta:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{(-2)^2 + 0^2 + a·(-2) + b·0 + c = 0 passa per [-2, 0]

{2^2 + 0^2 + a·2 + b·0 + c = 0 passa per [2, 0]

{3^2 + √15^2 + a·3 + b·√15 + c = 0  passa per [3, √15]

Quindi dal sistema:

{2·a - c = 4

{2·a + c = -4

{3·a + √15·b + c = -24

ottengo: [a = 0 ∧ b = - 4·√15/3 ∧ c = -4]

la circonferenza è:

x^2 + y^2 - 4·√15·y/3 - 4 = 0

3·x^2 + 3·y^2 - 4·√15·y - 12 = 0

La semidistanza focale "c" dell'iperbole è l'ipotenusa dei semiassi: c = √(a^2 + b^2); e l'eccentricità "e" è il rapporto fra "c" e il semiasse trasverso.
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Se l'iperbole Γh ha centro nell'origine e per asse trasverso l'asse x, allora ha
* equazione di forma: Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
* semidistanza focale: c = √(a^2 + b^2)
* eccentricità: e = c/a = √(1 + (b/a)^2) = 2 ≡ a = b/√3
da cui
* Γh ≡ (x/(b/√3))^2 - (y/b)^2 = 1
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Se Γh passa per A(3, √15), allora
* (3/(b/√3))^2 - (√15/b)^2 = 1 ≡ b = 2*√3
da cui
* Γh ≡ (x/2)^2 - (y/(2*√3))^2 = 1
che ha vertici reali in V(± a, 0) cioè
* V1(- 2, 0) oppure V2(2, 0)
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Il circumcerchio Γc del triangolo AV1V2 ha per centro C(a, b) l'unico punto del piano equidistante dai vertici e per raggio R tale comune distanza
* Γc ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = R^2
I parametri si determinano applicando la definizione
* |CA|^2 = |CV1|^2 = |CV2|^2 = q ≡
≡ (a - 3)^2 + (b - √15)^2 = (a + 2)^2 + b^2 = (a - 2)^2 + b^2 = q ≡
≡ (a = 0) & (b = 2*√(5/3)) & (q = 32/3)
da cui
* Γc ≡ x^2 + (y - 2*√(5/3))^2 = 32/3